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à l'intérieur du domaine (2) et satisfaisant à la condition aux li- 
mites 
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est, comme le montre une application facile du theor&me de Green, 
identiquement nulle dans tout le domaine (D). 
$ 21. Bien que l'existence des fonctions harmoniques dans le cas 
5 h ; ; 
où le rapport = représente une fonction continue réelle queleonque 
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définie sur la surface (S) ait été établie pour la première fois, dans 
les pages qui précèdent, les deux théorèmes suivant peuvent, à juste 
titre être appelés ,théorèmes de M. Stekloff“. En effet, dans un tra- 
vail récent M. Stekloff'), en partant de l'hypothèse qu'il existe des 
fonctions vérifiant certaines conditions très générales, a démontré un 
théorème qui, une fois l'existence des fonctions U, établie, comprend 
comme cas particulier le premier des deux théorèmes que nous 
avons en vue. Quand au second de ces théorèmes, il n’est qu'une 
extension, immédiate après la démonstration de l'existence des fone- 
tions U,, d’un théorème démontré par M. Stekloff dans un autre 
mémoire ?). 
Théoréme V. Bornons-nous à admettre au sujet de la fonction 
réelle f (x, y, 2) définie dans le domaine (D) que l'intégrale 
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fire y 2)}° di (32) 
(D) 
ait un sens et posons: 
Ar = [fa U, di. (33) 
La serie 
(85) 
1) Stekloff. Sur certaines égalités générales communes à plusieurs series de 
fonctions souvent employées dans l'Analyse. (Mémoires de l'Académie des Sciences 
de St. Pétersbourg 1904). , 
2) Stekloff. Mémoire sur les fonctions harmoniques de"M. Poincaré. (Annales 
de la Faculté des Sciences de Toulouse 1900). 
