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En tenant compte de ces propriétés de la fonction #, on prou- 
vera au moyen d’une application facile du théorème de Green la 
formule suivante: 
ÿ (æ, Y, 2, Los Yos 20: 5 = 
(11) = N G (&, Yo 20, T'Y 2": 5) (a, y, 2, æ',y',2", SA. 
(D) 
Il résulte encore des mêmes propriétés de la fonction # ceci: 
Si l’on pose 
vi, 
pour mettre en évidence les parties réelle et imaginaire de la fone- 
tion %, on pourra appliquer le théorème VI du chapitre précédent 
à chacune des fonctions #, et #,. En ajoutant membre à membre 
les équations obtenues de cette façon, on trouvera: 
RE AAC ETUI 
12 D, Y) 2 Los Vos 20 à El) 2 di — Y' => N) 
( ) ni Y, 3 Los Yo 20 F6) el (É—E}(É — &,)2| 
Posons: 
vi (3 2) Ur Go Jo 20) 
= E—-HE—-E 
k=1 
(13) F@, Y, 2, To: Yo, 20; 55) — 
Les paramètres £ et £ ayant des valeurs déterminées, distinctes, 
cela va sans dire, des nombres &, la série (13) sera absolument et 
uniformément convergente quand les points (x, y, 2) et (45, Yw 20) 
se déplaceront d’une façon quelconque dans le domaine (D). C'est 
ce que l’on prouvera aisément en s'appuyant sur l'inégalité (7). 
Posons pour un moment 
Se 3 SU PT TU © 
p (x, Y, 2) = Y (æ, Y, 2, Los Yo: 205 5) — FE (8, Y; 2, 20, Yo, 20 5 5)- 
5 
La fonction p (x, y, 2) sera continue dans tout le domaine (D) et 
il résulte des équations (12) et (13) que l’on a: 
Cela prouve que l’on a: 
(14) DT, Y 2 Los Yo 2 EE) = 2 — 
