151 
la série du second membre étant, répétons-le, absolument et uni- 
formément convergente lorsque les points x, y, 2 et æ, Yo, 20 Se 
déplacent d’une façon quelconque dans le domaine (D). 
Je dis que la fonction # considérée comme fonction de l’un des 
paramètres £ ou £&’ est une fonction analytique méromorphe dont 
l'ensemble des pôles coïncide avec l’ensemble des pôles des termes 
de la série qui la représente. Pour le démontrer, considérons un 
cercle quelconque (N) tracé dans le plan de la variable £ et dé- 
signons par #, la somme de la série en laquelle se transforme la 
série (14) après la supression des termes correspondant à ceux des 
nombres £&, qui sont les affixes de points situés à l’intérieur du cerele 
(2) ou sur sa circonférence. Si les points ($) et (£’) se déplacent 
à l’intérieur du cercle (Æ) ou sur sa circonférence, la série repré- 
sentant la quantité 4, sera absolument et uniformément eonvergente, 
on le démontrera aisément en s'appuyant sur l'inégalité (7). Cela 
prouve que la fonction # jouit bien de la propriété annoncée. 
Les équations (8) et (14) donnent: 
> DE f > m 3 N 
G (@; Y, 2, Los Yo 20; 5) — @ (X, Y; 2, Los Yo, 203 8) — 
— (£ — Ë) v U, (2, y: 2) Ur (Go; Yo, 20) (15) 
— 76 2 = = er CNE: [3 
a (É—HÉ—&) 
Cette équation qui nous sera très utile plus tard, prouve que la 
fonction G (x, y, 2, %o: Yo: 20 5), considérée comme fonction du para- 
mètre £ est une fonction méromorphe, fonction dont l'expression (15) 
met en évidence les pôles et les résidus correspondants. 
$ 24. Posons 
les équations (11) et (14) donneront: 
2 5 U: 
(Le 2, 4. 2, 8) |> di — VER vn R : 
G(2,9,2, 239.38) = (Er (16) 
(D) k=1 
Comme la série du second membre de cette équation est uni- 
formément (et évidemment absolument) convergente dans le domaine 
(D), il résulte de l'équation en question que l'intégrale qui en forme 
le premier membre aura une limite supérieure finie fonction des 
variables @ et 8, indépendante de la position du point (x, y. 2) 
