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ce qui donne: 
U, = (Ë, + of U, (&', y’, 2°) G (x, y,2, x, y', 2’, — ©) di. (8) 
(D) 
En tenant compte de linégalité (16) du chapitre V, on en conclut: 
Dj eg. @) 
\ % 
Voici les conséquences que l’on tirera immédiatement de cette 
inégalité en tenant compte de l'inégalité (26) du chapitre VI: pour 
toute valeur positive de #, la série (7) est absolument et uniformé- 
ment convergente dans le domaine (D), la somme V de cette série 
admet par rapport à la variable #, des dérivées de tous les ordres 
et l’on a 
av OT tt 
ei die (10) 
pour toute valeur entière et positive de p, la série du second mem- 
bre étant absolument et uniformément convergente dans tout le do- 
maine (D). 
Il résulte d’abord de ce qui précède que, pour toute valeur po- 
de 
sitive de #, la fonction V ainsi que les fonctions = sont continues 
dans tout le domaine (D). 
Voici d’autres conséquences qui résultent de ce qui vient d’être 
établi au sujet des séries (7) et (10). On a: 
9 I 27(,g,2,0 PV(,y,2)1| 
= hit — ETS | G (x, y. 2. %, y. 2, — 00) di 
(D) (11) 
, IE, Ye, 
= \9 V (a, y'.2',t) — 2 2 G (8, y, 2, x, y°, 2", — 00) di. 
(D) (12) 
Reportons-nous d’une part au dernier $ du chapitre IV, et d'autre 
part au théorème exprimé par l'équation (25) du chapitre V. Voici 
ce que nous pourrons alors conclure des équations (11) et (12). 
1° Les fonctions 
