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. . . D r 
étant continues dans le domaine (D), les fonctions = et V admet- 
. Q 
= 
tront, par rapport aux variables x, y, 2 des dérivées du premier 
ordre qui seront continues en chaque point situé à l’intérieur du 
domaine (D). 
2° Puisque d’après cela, la fonction 
7 IV 
ler 
admet par rapport aux variables x, y, 2 des dérivées du premier 
ordre continues en chaque point situé à l’intérieur du domaine (D), 
il résulte de l’équation (12) que, par rapport aux variables x, y, 2. 
la fonction V admet des dérivées du second ordre continues en 
chaque point situé à l’intérieur du domaine et que l’on a 
7 - 2 QUE 
AR Co? = 
autrement dit: 
= MO 
dans tout le domaine (D) et 
dV 
h"— —=hV 
2 HI 
; : Va 
en chaque point de la surface (S), la quantité aN étant une fonc- 
tion continue, limite vers laquelle tend uniformément l'expression 
D, (V) lorsque la distance à la surface (S) du point auquel se rap- 
porte cette expression tend vers zéro. 
Cela posé il ne reste qu'à s'assurer que la somme V de la série 
(7) satisfait aussi au 4-e point de l'énoncé du probleme qui nous 
occupe. C’est ce que l’on conclura immédiatement de l'équation (11) 
du chapitre précédent. 
En définitive le problème que nous nous étions proposé admet, 
comme nous l’avons annoncé, toujours une solution et il n’en admet 
qu’une seule. 
$ 29. Avant d'appliquer au Problème de Fourier réduit le ré- 
sultat que nous venons d'établir, démontrons, à eause de l'intérêt 
qu'il présente en lui-même, le théorème suivant: 
Si l’on désigne par {, un nombre positif quelconque et par (x, Yo: 2) 
