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un point quelconque situé à l’intérieur du domaine (D), la fonction 
V sera une fonction analytique holomorphe des variables x, y, 2, t 
dans le voisinage du système de valeurs 2, Yo, 2: t de ces va- 
riables. 
Pour établir ce théorème, commençons par faire la remarque 
suivante: il résulte de l'équation (8) de ce chapitre et du théorème 
exprimé par l’equation (25) du chapitre V que la fonction w (x, y, 2, 5) 
considérée au chapitre IV se confond avec la fonction U, en rem- 
plaçant la fonction / (x, y, 2) par la fonction (£, + 9) U, et en po- 
sant £— — 0,. Cette remarque faite. il résulte de linégalité (9) de 
ce chapitre et des inégalités (15) et (23) du chapitre IV que l’on 
a dans tous les cas: 
| dU| „175 (&-+ 0)? : 
MON green (13) 
IN | 
£ Qt 
On a d’ailleurs 
e il ed Er 1 dU; arte 
Us, | une de mien u (14) 
(8) (8) 
en désignant par u, la valeur que prend, pour &=£, le nombre u 
défini par l'équation (3) du chapitre II. 
Il résulte de l'équation (14) que, dans le voisinage de tout point 
situé à l’intérieur du domaine (D), la fonction U, est une fonction 
analytique holomorphe des variables x, y, 2. Mais ce n’est pas pour 
en tirer cette conclusion, qui résulte du théorème connu rappelé au 
début du chapitre III. que nous avons écrit la formule (14). Con- 
sidérons le terme general: 
—ù f 
AG UE 
de la série (7). L'expression précédénte représente une fonction des 
variables x, y, 2, t analytique et holomorphe dans le voisinage du 
système de valeurs &,, Yo; 2: fo de ces variables. Posons: 
et 4 
Ae* 26%... @ nn) = y 2} — 6% (5) 
et cherchons une limite supérieure du module du coefficient C,,, ,,» 
A cet effet désignons par Ô un nombre positif assez petit pour que, 
pour toutes les valeurs réelles et complexes des variables x. y, 2, t, 
vérifiant les inégalités 
