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(16) Iz—m|<d; | y-u|=6; 2 a = dé u|=6 
le premier nombre de l'équation (15) soit holomorphe. On n’éprouvera 
aucune difficulté à déterminer une valeur admissible de 0 connais- 
sant le nombre #, et la plus courte distance du point (4. Yo, 20) 
à la surface (S). Supposons que les variables x, y, 2, £ prennent 
toutes les valeurs réelles et complexes compatibles avec les inéga- 
lites (16) et soit alors M, une limite supérieure du module du pre- 
mier membre de l'équation (15). On aura 
(17) Cons un 
en vertu d’un théorème bien connu. 
En s'appuyant sur la formule (14) et sur les inégalités (13) et 
(9) et en remarquant que 
IA, |< V&2 
en vertu de léquation (11) du chapitre précédent, on trouvera ai- 
sement que l’on peut prendre: 
(18) JM, — (% —E @ Ar + 4,” = Q; a,” + Q, a) e + NP 
en désignant par @, le module de u, et par Qu, Qu, 9. Où, Qu 
9: et g des nombres positifs indépendants de l'indice X. 
Il résulte immédiatement des relations (17) et (18) que la fonc- 
tion V (x, y, 2, t) peut être représentée au moyen d'une série en- 
tière par rapport aux différences 
in, M— My Den — ln 
série qui sera absolument et uniformément convergente pour toutes 
les valeurs des variables +, y. 2, t vérifiant les inégalités (16). La 
fonction W sera donc bien analytique et holomorphe par rapport 
aux variables x, y, 2, { dans le voisinage du système de valeurs 
%o Yos os to de ces variables. C’est le théorème que nous voulions 
établir. 
Faisons remarquer que les relations (17) et (18) montrent que 
la série (7) est dérivable terme à terme par rapport à chacune des 
variables x, y, 2, t à condition, cela va sans dire, de ne considérer 
que des valeurs positives de { et de supposer que le point x, y, 2 
est situé à l’intérieur du domaine (D); j'ajoute que, lorsque l’on con- 
sidère seulement celles des dérivées de la fonction W qui sont de 
la forme 
