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ditions, on le prouvera aisément, uniformément dans (D) vers f(x. 
y, 2) en outre, comme nous l’avons vu plus haut, toute l'expression (42) 
tend uniformément vers zéro lorsque f tend vers zéro en restant, 
bien entendu, positif. Nous arrivons par conséquent au théorème 
suivant: Lorsque la fonction f (x, y, 2) est continue dans tout le 
domaine (D) et sur sa frontière (S) et lorsque de plus W’—= 71, la 
fonetion V (x, y. 2. t), définie par la serie (7). tend, lorsque f tend 
vers zero en restant positif, vers f (x, y, 2) uniformément dans tout 
le domaine (D). 
Passons au cas où A’—= 0. Si la fonction f (x, y. 2) ne s’annule 
pas sur la surface (S), le théorème précédent ne peut s'étendre au 
cas actuel; cela est évident parce que, lorsque  — 0, la fonction 
V (x. y, 2, t) est constamment nulle sur la surface (S). 
Par conséquent, dans le cas où "= et où la fonction f (x. 
y. 2) ne s’annule pas sur la surface (S), il n'y a rien à ajouter à ce 
qui résulte déjà des faits établis dans les deux $$ précédents. 
Supposons done que la fonction f (æ. y. 2) sannule sur la sur- 
face (S). Dans ce cas on peut, sans rompre la continuité de la fone- 
tion f(x. y, z) la prolonger au-delà du domaine (/)) dans tout l’espace, 
en convenant de lui attribuer la valeur zéro dans tous les points 
de l’espace situés à l'extérieur du domaine (1). La fonction 7 (x, y, 2) 
étant prolongée de cette facon, les intégrales (39) et (41) coïneide- 
ront, la première avec l'intégrale (43) et la seconde avec l'intégrale 
(44). Par conséquent, dans l’hypothèse où nous nous sommes placés, 
volei ce qui arrive lorsque # tend vers zéro en restant positif: le 
troisième terme de l'expression (38) tend uniformément vers zero et 
le second vers f (x. y, 2). D'ailleurs, l'expression (38) toute entière 
tend uniformément vers zéro. Nous avons donc le théorème suivant: 
lorsque la fonction f (x. y. 2), continue dans tout le domaine (D), 
s’annule en outre sur la surface (S). la fonction V (x, y, 2, t) définie 
par l'équation (7) et relative au cas où 4’ — 0, tend, lorsque t tend 
vers zero, vers f (x, y, 2) et cela uniformément dans tout le do- 
mine (/)) 
$ 37. Résumons les résultats acquis dans ce chapitre. Le pro- 
blème posé en tête de ce chapitre doit être considéré comme une 
forme plus générale du Problème de Fourier réduit. Ce problème 
admet toujours une solution et il n'en admet qu'une. Nous avons 
obtenu deux expressions différentes de la solution unique V (x, y, 2, t) 
du problème considéré: l'expression (7) et l'expression (28). En de- 
