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Envisageons maintenant la fonction de Green généralisée G (x, y, 2, 
x’, y', 2’, &) relative aux valeurs données de h’ et het, en désignant 
par a un nombre positif assez grand pour que, pour = — 4. la 
fonction G n'offre pas de singularité, posons 
u 
| BZ) = / Ex, y, 2,2) G(&, y, 2,2, y, 2, — a) di 
(8) J (D) 
f 1 
| Ro (2, y, 2;t) = (x, y',2',t) G(x, y, 2, &',y', 2’, — a) di. 
(D) 
Ensuite, considérons la fonction V (x, y, 2. t) définie par l’équation (7) 
du chapitre précédent. Changeons dans l'expression de cette fonction 
t en / et designons par ® (x, y. 2. À n) ce qu’elle devient en y 
posant: 
® F(x, y, 2,7) 2a un 
(ONG 7 2) DR + -a?F(x,y,2,n). 
Il viendra: 
D (x, y, 2, A,n) = 
00 = k 
(0) = Sy", (n) — 2a y’, (ma: w,(n)YU, («,y,2,)e 
Il résulte des propriétés de la série (7) du chapitre précédent 
que, si l’on se borne à considérer, comme nous allons le faire, les 
valeurs réelles de A, la fonction ® ne pourra être regardée comme 
définie par l'équation (10) que pour les valeurs positives et non 
nulles de À Convenons de prendre pour valeur de l’expression 
D (x, y, 2. 0, n) la valeur (9) de la fonction / (x, y. 2). Les théorèmes 
résumés au dernier $ du chapitre précédent nous permettront alors 
d'affirmer ceci: lorsqu’aueune des variables 2 et 7 ne sort d’un in- 
tervalle de la forme (0, T) où 7’ représente un nombre positif quel- 
conque, la valeur absolue de la fonction ® aura une limite supé- 
rieure finie et elle sera continue pour toutes ces valeurs des va- 
riables À et 7 et pour toutes les positions du point (x, y, 2) dans 
le domaine (1) ou sur sa frontière (S) en exeeptant toutefois les 
systèmes de valeurs où les deux circonstances suivantes se présen- 
teraient à la fois: le paramètre 2 est nul et le point (x, y, 2) se trouve 
sur la surface (S); dans ce cas la fonction ® sans cesser d’être 
limitée et d’être continue par rapport aux variables æ, y, 2, 9 ne 
serait plus continue en général, par rapport à 2. 
