247 



22. M. JOSEPH PUZYNA m. c. O sumach nieskoriczenie wielu szeregôw 

 potçgowych i o twierdzeniach Mittag-Lefflera z teoryi funkcyi. (Über 

 Summen unendlich vieler Potenzreihen und über die funktio- 

 nen-theoretischen Sätze des Herrn Mittag-Leffler). (Sur les sommes 

 d'un nombre infini de séries entières et sur le théorème de M. ilittag-heffler). 



Der Verfasser beschäftigt sich im I Teile dieses Aufsatzes mit 

 der Summe 



S=\%\x) 



unendlich vieler Potenzreihen 



%\(x) = a, a + a n x -f-«, 2 a; 2 + , s = l,2,8,.... 



Soll diese Summe im gemeinsamen Konvergenzbereiche (r) ihrer 

 Addenten nicht nur gleichmässig, sondern auch absolut konvergieren 

 so gilt der Satz, dass in ihrer Entwicklung nach Potenzen von x: 



A +A 1 x + A 2 x i + (1) 



die Koeffizienten 



^a="l|i + "2|X + °S|1 +•■•■: p=0,l,2,.... 



ohne Ausnahme unbedingt konvergierende Reihen sein müssen. 



Um die Umkehrung dieses Satzes ganz allgemein zu beweisen. 

 wird die Summe S untersucht, ohne irgend welche Voraussetzungen 

 über ihre Konvergenz resp. Divergenz in (V) zu machen. 



Wenn man mit R,(x) den Rest 



Ä,(x) = a,, v ,.x v *+ 



des Addenten "{\(x) bezeichnet, so kann man stets solche — mit s 

 wachsende -- Zahlen v, finden, welche die Grenze lim, = „ v, = ^o 

 erreichen und für welche die Summe 



QU 



r VlVl ... = £*(*) 



in (r) gleichmässig und absolut konvergent wird. Der Beweis stützt 

 sich auf die Vergleichung der Reihe - R,{ x )\ mit einer beliebigen 



konvergenten Reihe: (fj+f, + f 3 ) von lauter positiven Addenten 



a,. Die Summe T ViVl ... wird als eine dem S adjungierte Summe 

 bezeichnet. 



Es fragt sich nun, ob die Fälle vorkommen können, in welchen 



Bulletin III. 2 



