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auch lim,.^^ endlich sein kann. Dazu ist augenscheinlich not- 

 wendig (aber nicht hinreichend), dass 



(il) lim , = „ *ß. (as) =«„ + «! as + ... + a t . t x'- + .x'+ 0.x'+< + 



wird, und diese Bedingung lässt sich ohne Mühe direkt aus der 

 gegebenen Summe S entnehmen. 



Um nun auch die hinreichenden Bedingungen für die Endlichkeit 



aller v, zu bestimmen, wird zuerst die Summe S = S *& (x) von der 



Eigenschaft untersucht, dass sie die Bedingung 



(a) ]wi^%(x) = 0-l-0x + 0x* + .... 



erfüllt und dass ihre formelle Entwickelung 'Ï.A^xV- lauter unbe- 

 dingt konvergierende Koeffizienten A^ — mit endlichem oder di- 

 vergierendem lim A»— - besitzt. Im ersten Falle ist die Reihe 

 *£.A„xV- sicher konvergent. Im zweiten Falle wird ihre Konvergenz 

 auf folgende Weise bewiesen. 



Scheidet man aus S die Summe 



00 



mit v 1 <v 2 <v 3 <. ... und mit lim v, = oo aus. so hat die Reihe 

 2 B. x xV-, als Entwickelung einer gleichmässig (und absolut) konver- 

 genten Summe sicher einen bestimmten Konvergenzbereich. 

 Setzt man 



$, (as) = P. (as) + £. (as), s = 1.2,... 



und wird noch die Summe 



z\ iV ,...=Xp.H 



deren formelle Entwickelung mit 



C + C 1 x+C t x*+ 



bezeichnet wird, gebildet, so sind die Koeffizienten Cp. alle endlich, 

 denn in den hier bestehenden Gleichungen B^ + C^ = A^, 

 14 = 0,1,2,...., sind die Grössen A^ und B {1 endlich. 

 Die Grenze 



lim pi .„C 1 , ist = 



infolge der Bedingung (a). Die Reihe C + C x x + . . . . ist demnach 

 konvergent und da 



