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(B + B 1 x+...) + (C + Cj s + . .) = A + A 1 x + .. 



ist. so hat die Potenzreihe S A^ x^ . welche bis jetzt nur formell 

 existierte, sicher (auch im Falle lim ^^=00) einen bestimmten Kon- 

 vergenzbereich. Da nun die Koeffizienten A tl unbedingt konvergie- 

 ren (lim A„ bleibt unendlich bei jeder Anordnung der Addenteni. 

 so rnuss S in ihren Addenten V,(ar) absolut konvergent sein. Dies 

 zieht auch die gleichmässige Konvergenz nach sich ') und berechtigt 

 die Gleichheit 



S=A -+- A 1 x -f 



für richtig zu halten. 



Die Umkehrung des zu Anfang ausgesprochenen 

 Satzes ist demnach bewiesen. 



Jetzt kann die Frage nach den hinreichenden Bedingungen der 

 Endlichkeit aller Zahlen v, beantwortet werden. 



Betrachtet man wieder eine allgemeine Summe S und sind un- 

 ter den Koeffizienten 



A) A 1 . A 2 



der Entwickelung (1), welche jetzt, da man über die Konvergenz 

 der Summe S nichts vorausgesetzt hat. wieder nur formell existiert, 

 die Koeffizienten 



A m: A,„ +1 , 



ohne Ausnahmt- brauchbar d. h. unbedingt konvergent, während 

 dagegen A m _ t unbrauchbar (divergent oder bedingt konvergent' 

 ist 2 ), so ist jetzt klar, dass man allen Zahlen v, den gleichen Wert 

 m oder (m + 1) u. s. w. beilegen und dem S die Summen 



T m . T m+I 



mit allen v, resp. = 



= //( . m -f- 1 



adjungieren kann. Diese .Summen werden als die dem S adjun- 

 gièrten Summen vom Range: m. (wj-J-1), u. s. w. bezeichnet. 



') Dasselbe lässt sich von der Summe T '-,, v behaupten. [T' Vl .,.,... + 



- r ; vi .„...= s]. 



2 ) Unter den Koeffizienten A , A l , A m s können sowol brauchbare wie un- 

 brauchbare vorkommen. Die Grenze \\m< l=J A, x kann diTergent sein. 



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