A v\< 



9-' 



un-'' 



('-A)" + ' 



v \a. \J 



1, . . . , , 



251 



(3) 



Beachtet man nun, dass ; a, | für sehr grosse s selbst sehr gross 

 werden und dass lim,,,,,, \a, =oo ist, so wird aus den letzten Un- 

 gleichheiten gefolgert, dass: 



1°) alle Koeffizienten in (2) für hinreichend grosse s beliebig 

 klein gemacht werden können, 



2») lim, = „A !A =0, \p=0,l,2,...} 



und 



3°) lim,„ a <P,(x) = + 0x + 0x 2 + 



wird. 



Im vorliegenden Falle wird daher die notwendige Bedingung 

 dafür, dass man der Summe 



CO oc 



deren formelle Entwickelung mit y A^ x^- , f A^ = } A,^ J . be- 



zeichnet sein soll, ein T m eines bestimmten Ranges m adjungieren 

 könnte, stets erfüllt. Man wird daher gezwungen, nach den hinrei- 

 chenden Bedingungen zu fragen. 



Diese ergeben sich aus den Ungleichungen (3). Setzt man näm- 

 lich dort für g, die obere Grenze g aller 



\C, k \, s = l,2,3,...°°, h = l,2,3,...,°° 



1 \-v— 



und für 1- 



Daraus kommt: 



die obere Grenze [1 



1 \-v- . . 



ein. so wird 



I^K- 



9 



IM-— ' 



V-+' 



CO 



A, 



< 



I 



1 I 



ll+< 





und dies beweist, dass die Brauchbarkeit der Koeffizienten A fi eine 

 Folge der unbedingten Konvergenz der Summen 



