252 



— 1 



ist. Sind nun die Summen Ä' u+ , für fi^m alle unbedingt konver- 

 gent, während K m noch divergent ist oder bedingt konvergiert, so 

 sind die Koeffizienten A n . A m+! .... brauchbar und dem <S können 



T m . T m+S) adjungiert werden. Dieses Kennzeichen der Existenz 



eines bestimmten Ranges wurde bis jetzt öfters an bekannten Funk- 

 tionen wie seea;, £(x), p(x) u. s. w. bemerkt. Es gilt — wie aus 

 dem Obigen hervorgeht — für eine sehr ausgedehnte Klasse von 

 Funktionen [mit endlichen lim, =!D C tk , & = .Z, 2. ...] und kann bei je- 

 der beliebigen Funktion der hier betrachteten Art angewendet 

 werden. 



Setzt man also 



P.(x) = A„ +A, l x+...+ A., m _ 1 x m -- 

 oder = A„,+A n x + ... + A„ v _, . x"~' , 



je nachdem die Existenz des Ranges m nachgewiesen werden konnte 

 oder nicht, so kann eine der verlangten Funktionen die Form haben: 



(I) 



™^î[*-(iéî)- F -to\ 



Im Falle eines bestimmten Ranges m werden alle Funktionen, 

 welche durch die Form (I) dargestellt werden und in welchen sich 

 kein (äusserer) Addent. der eine ganze Funktion von x selbst wäre, 

 vorfindet, einfache Funktionen m"" Ranges genannt; [analog 

 mit einfachen Produkten, welche Benennung H. Vivanti ein- 

 geführt hat]. 



Die Funktion f(x) m"" Ranges hat in a> = eine Nullstelle m'" 

 oder auch höherer, aber bestimmt keiner niederen Ordnung; denn 

 man hat in der Umgebung der Stelle x = 0: 



1 



G.(- 



V x 



a, 



-P,{x) = A, m x m -\- = *'.(& 



und es lässt sich demnach aus allen Addenten der Summe (I) ein 

 Faktor «*, wo k^m ist, ausscheiden. 



Um nun weiter die Funktion f(x) m"" Ranges in ihren Fort- 

 setzungen zu untersuchen, werden die Gleichungen 



>P,(x) = P,(x) + F,(x) 



