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Q = dH- ./; dF 1 - . . - /;_, dF,^ + F t df k + . . . + F. df m 

 und 



/ ( = g(i=l,2..i-i), F, = -^tj = /.-,....m). (ß) 



§ 2. 



1. Us sei die Differentialgleichung 1. 0. 



*(*!*••*.*£ ê) =() - (1) 



vorgelegt. Wenn z = f{x v x % . . .x^} das Integral derselben ist. so 

 bringen « -(- 1 endliche Gleichungen 



: f 

 z = f(x l :.x,), p ( = ^r (i=l, 2 . . . ri) ui) 



den Differentialausdruck 



Q = dz — pj dx, — . . — p„ (/./•„ 



zum Verschwinden und genügen der gegebenen Gleichung 



F{x l ... x n , z, Pl ...pj = 0. (1') 



Umgekehrt, wenn m -\-l Gleichungen z =f (x, . . . x n ), p,= f'(.i\...x, l ) 

 den Differentialausdruck Q annullieren und der endlichen Differen- 

 tialgleichung (1') genügen, so ist offenbar z=f{Xy...x„) das In- 

 tegral der gegebenen Differentialgleichung (1). 



Man kann die Aufgabe, die Differentialgleichung (1) zu inte- 

 grieren, in folgender etwas allgemeineren Form darstellen: Man soll 

 die Differentialgleichung 



Q = dz — jo, dx 1 — . . — p„ dx„ = 



mit Hilfe der kleinsten Anzahl ii -\- 1 endlichen Gleichungen in- 

 tegrieren, deren eine die gegebene Form F(x x ..x„zp l . .p„) = hat. 



Wir werden diese Aufgabe in möglichst allgemeiner Form 

 lösen. 



Es kann bei der allgemeinsten Behandlung dieses Problems auch 

 vorkommen, dass die gegebene Gleichung (1') von den p frei ist. 

 In diesem Falle löst man dieses Problem nach der Methode des 

 § I. 2. indem man unter den Gleichungen (a) die gegebene Gleichung 



F r, ..x. 2 z) = G (!') 



