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lüsbar sind, so bekommt man nach der Elimination derselben das 

 Integral f(zx l ... x„) — der Differentialgleichung (1). 



Wenn es dagegen nicht der Fall ist. so stellen diese n -4- 1 In- 

 tegralgleichungen der Differentialgleichung Q = das Integral der 

 Differentialgleichung (1) im erweiterten Sinne von S. Lie dar. 



Die in dieser Weise erhaltenen Integrale nennt man nichtsingulär. 



Wenn wir nun beachten, dass die Relation (p (a^ . . p„°) = nur 

 kein Integral des Systems der Differentialgleichungen (Bj) sein soll 

 und im übrigen ganz willkürlich bleibt, so können wir den folgenden 

 Satz II aussprechen. 



Satz II Um die nichtsingulären Integrale der gegebenen Diffe- 

 rentialgleichung zu erhalten, soll man die Differentialgleichung 



fi = dz —p^dXy — ... — p„° dx„° = 



mit Hilfe irgend eines Systems der n -4- 2 Gleichungen integrieren, 

 die nicht alle die Integrale des Systems der Differentialgleichungen (B,) 

 sind und deren eine die gegebene Gleichung I '(a^ ... x„° z" p^ . . . ^„°J=0 

 ist. Es sei ein solches 



f (x x ° . . . x„°z° . . . p„°) = 0, <p (V . . . x n "z"p^ . . . p„°) = 

 (E) F(x l °...p„ a ) = 0, 



wo (f (% .. .x, l a z°p l . . .p„°) = kein Integral der Differential- 

 gleichungen (Bj) ist. Man bekommt das Integral der Differential- 

 gleichung (1). wenn man die Grösse j\° . . . x l , u z"p l ' > . . . p„° aus den 

 Gleichungen 



(E) 9 i (x i °...xJ'sflp l ...p n °) = 0, (i = l,2...n) 



f (V . . . xj i z°p 1 ° . . . p„°) = , Ffa .... p n °) = 0, 



und 



x, = x, (x t x s ° p n °) = (i = 2 . . . n), z = z(x l x l t p„°) , 



(a) p, = p i (x l x l "....pM = (i = l...n), 



eliminiert, wo die letzten 2n Gleichungen (a) die Hauptintegrale des 

 Systems (B-,) im Bezug auf x, = x^ sind. 



Was jetzt das System der n -4- 2 Integrale der Differential- 

 gleichung ß = mit den vorgeschriebenen Eigenschaften betrifft, 

 so kann man den folgenden Satz III beweisen: 



Satz III. Um alle Systeme der n-\- 2 Integralgleichungen der 

 Differentialgleichung ß = zu finden, die nicht alle die Integrale 

 des Systems (Bi) sind und deren eine die gegebene Form 



