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Man kann aus den letzten n-\-l Gleichungen, wo <p' {x^ x x ...p„)=0 

 ist. jh . . . p„ bestimmen, da diese Gleichungen bei Xi — Xi die Form 



0, (a^x, ...p n ) — Q, (i = l, 2...n), F(x 1 a x i . . pj = 0, 



wo (p (zxi°x 2 . . ,p„) = 0, ist. annehmen. 



Wenn wir also aus den Gleichungen (c) noch X\ eliminieren, 

 so bekommen wir >i ~\- 1 Integralgleichungen 



f(ssan . . . x„) = , », (.r t . . . jp„) = (» = 1 , 2 . . . » — 1), 

 F (*!... _p„) = 0, 



die nur eine von p i freie Gleichung 



f{zx x . . . z„) = 



enthalten, die ein Integral im gewöhnlichen Sinne der Differential- 

 gleichung (1) ist. 



Um das Integralsystem (b') von >i -\- 2 Gleichungen der Diffe- 

 rentialgleichung ü = mit den oben erwähnten Eigenschaften zu 

 erhalten, sollen wir ein Integralsystem von n-\- 1 Gleichungen dieser 

 Differentialgleichung mit denselben Eigenschaften suchen und dann 

 im Sinne des Satzes II und III verfahren. 



In der Tat es sei 



<p |>°V . . . .r„°) = , </> [Z° Xt" . . . X n °) = , 



©, («•*!• . . p n °) = (» = 1, 2 . . n — 1) , (b') 



F(x 1 °...p n °) = Q 



ein System der Integrale der Differentialgleichung Q„ = 0, das nur 

 zwei von p? freie Gleichungen <p = . ti> = enthält, deren eine 

 (p = kein Integral des Systems (Bj | ist. 



Wir können zwei der Veränderlichen z" . x-' . mit Hilfe der 

 Gleichungen 



cp = 0, </' = 



aus der Gleichung ß = eliminieren. Die n — 1 Koeffizienten bei den 

 Differentialen der übrigen n — 1 Veränderlichen z x? sollen infolge 

 der Gleichungen (b') verschwinden. Wir können also diese letzten, 

 gleich Null gesetzten, als n — 1 unabhängige Gleichungen des Systems 

 (b') annehmen. Wenn wir noch die Gleichungen 



hinzufügen, so sehen wir. dass das System (b'j in sich ein System 

 der n -\- 1 Integralgleichungen der Differentialgleichung Q„ = 



