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die Gleichung 



ip(x 1 °...x,< > z o ) = 0. 

 w. z. b. w. 



Wir haben hiermit den Satz IV bewiesen: 



Satz IV. Wenn man die Differentialgleichung 



ß = dz — 2>i° dxi» — . . . — p„° dx n * = 



durch n -\- 2 Integralgleichungen der Gestalt 



(b) <p(x 1 °...x n °z0) = 0, i[> fa* . . . xj> ^ ) = , 



® i (x l ...p„°) = i = l, 2,...n — l), F(x 1 °...p„°) = 



integriert hat. die nur zwei von p,° freien Gleichungen enthalten, 

 deren eine q> (iCi . . . x,? z") = kein Integral des Systems (Bi) ist, 

 und wenn man die Grössen x° z° p," p, (i = 1, 2 . . .«) aus den Glei- 

 chungen (b) und den Gleichungen 



(a) x t = x { (xx zi° . . . p n ) (i = 1 . . . n), z = z(x 1 x 1 ° ... p„°) , 

 p t = p t ( xi x { ° . . . p n °) (i = 1, 2 ... if. 



die die Hauptintegrale des Systems (Bi) in Bezug auf x l =^Xi sind, elimi- 

 niert hat, so erhält man das Integral J [z Xi .. x„) = im gewöhnlichen 

 Sinne der Differentialgleichung (1). Dieses Integral hat die Eigenschaft, 

 dass es infolge der Relation <p = der anderen Relation xp = 

 genügt. Alle Integrale im gewöhnlichen Sinne können in dieser 

 Weise erhalten werden. 



7. Man nennt das Integralsystem 



(a) & t fa...pJ, (t = l, 2,...»), F(x 1 ...p„) = 



der Differentialgleichung ü = ein vollständiges Integral der Dif- 

 ferentialgleichung (1), wenn die Gleichungen 



#, (xi . . . p„) = 0. (i = 1 , 2 , . . . »), 



h willkürliche Konstanten C\ . . . C„ enthalten, von denen die ge- 

 gebene Gleichung (1) frei ist und die aus diesen Gleichungen sieh 

 bestimmen lassen. 



Wenn dabei die Gleichungen (a) nur eine von p i freie Gleichung 



f(zx! r n C'i . . . C„) = 



enthalten, so ist diese letzte das vollständige Integral im gewöhn- 

 lichen Sinne. 



