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x i = x t (x 1 x i <>...p n o) (i = 2...n), z = z (x 1 x 1 °...p n °), 



(a) pi = Pi {xi xt" ... p„°) (i = 1 . . . n) 



eliminiert hat, so bekommt man das vollständige Integral 

 9 i (x 1 ...p n ) = (i = l, 2...n), F(x 1 ...p n ) = 



der gegebenen Differentialgleichung (1). 



Alle vollständigen Integrale können in dieser Weise erhalten 



werden. Wenn dieses vollständige Integral auch das Integral im 



gewöhnlichen Sinne sein soll, so muss das System (b) nur zwei von 



pi" freien Gleichungen enthalten. 



Wir können also folgenden Satz VI aussprechen: 



Satz VI. Wenn man die Differentialgleichung Q = durch 



n -4- 2 Integrale: 



®, (-ri ■ • • />.°) = (1 = 1, 2...n), 



(b) Fixt .. ./)„°) = 0, ip (xx° . . . p„°) = 



von der Eigenschaft, dass nur die u ersten Gleichungen n willkür- 

 liche Konstanten C t . . . . C„ enthalten, in Bezug auf welche sie auf- 

 lösbar sind, und dass q> = kein Integral des Systems (Bj) ist. 

 die nur zwei von p ( ° freie Gleichungen enthalten, deren eine kein 

 Integral des Systems (B,) ist, integriert hat, und wenn man die 

 Grössen xf z° p,° p t (i = l,2 .. . ») aus den Gleichungen (b) und (a) 

 eliminiert hat, so erhält man das vollständige Integral im gewöhn- 

 lichen Sinne. 



Alle solche Integrale können in dieser Weise erhalten werden. 

 Mar. bekommt das vollständige Integral, wenn das System (b) z. B. 

 die Form hat: 



x,o=C t (i=l, 2 ... n), (f (sW . . . .,•„<>) =0, Ff.'-, . . . p„°) = 0. 



wo (p = kein Integral des Systems (Bj) ist. 



Man bekommt das vollständige Integral im gewöhnlichen Sinne. 

 wenn das System (b) z. B. die Form hat 



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z" =V • ■'■i°p.° , p i =C i (i = l, 2... m) , F( Xl o . . . p„o) = , 



wenn selbstverständlich die gegebene Differentialgleichung F (x, . . . 

 p„) = die Form z — x, ^ . . — x„ ^r— nicht besitzt. 



CX X c'X„ 



