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Wir wissen, dass bei der Integration der Gleichung 

 dz — pi dxi . . — . p„ dx„ = 0, 

 wie im allgemeinen bei der Integration der Gleichung 

 df— F x df x — ... — F n df„ = 



eines der Integrale von der Form 



<P (z 2'i . . . x n ) = 



ganz willkürlich gewählt werden kann. 



Die ganze soeben entwickelte Theorie zeigt, dass bei der In- 

 tegration der Differentialgleichung 



dz — p x dx^ — ... — p„ dx„ = 



eines der Integrale ganz willkürlich in der Form 



F(x 1 x i ...p,;) = o 



gewählt werden kann, was übrigens aus der Natani sehen Theorie 

 des Pfaffschen Ausdruckes X y dx 1 -\- . . . -\- X p dx p ungerader 

 Klasse 2n -\- 1 , wo 2n -\- 1 = /i ist, bekannt ist '). 



8. Die entwickelte Theorie enthält in rein analytischer Form 

 die Sätze, die S. Lie mit der gemischten analytisch-geometrischen 

 Methode gefunden hat (Math. Ann., Bd. 9). Ich beschränke mich nur 

 darauf, dass ich einige der oben bewiesenen Sätze in der Form von 

 S. Lie wiederhole, wobei ich die Begriffe des Elements {zx t p^ 

 des n -f- I-dimensionalen Raumes, des Elementvereins M k von oo* 

 Elementen, des charakteristischen Streifens und der Integralmannig- 

 faltigkeit der gegebenen Gleichung (1) F (xi ... x„z p, ... p„) = als 

 bekannt voraussetze. 



Der Satz I kann zweierlei geometrische Bedeutung haben: 



a) Wenn x? z° p { ° als konstant betrachtet werden, so gilt der 

 Satz: Alle benachbarten Elemente (zx t p,) des charakteristischen 

 Streifens der gegebenen Differentialgleichung F{x 1 . . x„ zp^ . . p„) = 

 liegen vereinigt; 



b) wenn zwei benachbarte Elemente (z^x^p, ) und (z -j- dz 

 Xi" -\- dxl'. /',' |- dx?) zweier charakteristischen Streifen vereinigt 

 liegen, d. h. wenn 



dz — pt" dxL ... — p„o dx„o = ist, 

 ') „Ueber totale und partielle Differentialgleichungen" J. Grelle, Bd. 58. 



