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so liegen alle benachbarten Elemente (zx,p t ) und (z -\- dz, x,-\-dx„ 

 p, -\- dp,) dieser Streifen auch vereinigt. 



Satz IL Um alle Integralmannigfaltigkeiten M„ der gegebenen 

 Differentialgleichung F(x± . ..p„) = 0. die von charakteristischen 

 Streifen erzeugt sind, zu bekommen, soll man irgend eine In- 

 tegralmannigfaltigkeit i¥„_! derselben Gleichung nehmen, die von 

 den charakteristischen Streifen nicht erzeugt ist x ), und dann durch 

 jedes Element derselben die charakteristischen Streifen führen. 



Satz III. Um eine Integralmannigfaltigkeit M n _ t der Gleichung 

 .F=0, die von den Charakteristiken nicht erzeugt ist. zu erhalten, 

 soll man irgend einen Elementverein M„ nehmen. Ist dieser letzte 

 keine Integralmannigfaltigkeit M„, so soll man die Koordinaten der 

 Elemente (zx t p^ desselben noch der Bedingung F=0 unterwerfen, 

 vorausgesetzt, dass der Elementverein M„ nicht von den charakteristi- 

 schen Streifen erzeugt ist; ist dagegen J/„ die Integralmannigfal- 

 tigkeit M„ der Differentialgleichung F=0, so soll man die Ele- 

 mente derselben der ganz willkürliehen Relation g> {x t p n ) = 



unterwerfen, die nur einer Bedingung genügen soll, dass die er- 

 haltene Integral-il/„_! von den Charakteristiken nicht erzeugt ist. 



Satz I V. Um die Integralmannigfaltigkeit M„ der Differential- 

 sdeiehuno' _F=0. die von den charakteristischen Streifen erzeugt 

 ist und als Punkt-Mannigfaltigkeit n-fach ausgedehnt ist zu erhal- 

 ten, kann man irgend eine Integralmannigfaltigkeit M„_ t derselben 

 Gleichung nehmen, die als Punkt - Mannigfaltigkeit nur (n - - 1)- 

 fach ausgedehnt ist und mit derselben im Sinne des Satzes II ver- 

 fahren. Dieses Integral ist nur dann möglich, wenn der charakte- 

 ristische Streifen das Punktgebilde ist. 



Einige im §. 7 erhaltenen analytischen Ergebnisse können geo- 

 metrisch in folgender Weise interpretiert werden. Der Inbegriff 

 °c" Integralmannigfaltigkeiten M n der Gleichung F=0 wird das 

 vollständige Integral der gegebenen Gleichung genannt. Um das 

 vollständige Integral zu bekommen, kann man z. B. die charakte- 

 ristischen Streifen durch den Punkt (z x,) allgemeiner Lage der 

 Mannigfaltigkeit 



•) Das ist der geometrische Sinn dieses Umstandes, dass eine der Integralglei- 

 chungen der Differentialgleichung d< — p^ uXi — — p„ (tX„ = U, 



ê, («!» . . p n <>) = 0, {1 = 1, 2.. n), F(x^ . . p„°) = 0. <p (a* . . p„°) = 



nämlich <jP = 0, kein Integral des Systems (B,) ist. 



