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und der Gleichung 



Q = dz — p, dx, — ... — p„ dx„ = 



geniige leisten, n -\- 1 Gleichungen («) bilden also ein System von 

 n -\- 1 Integralen der Gleichung 



ß = 



von der Beschaffenheit, dass es den gegebenen Gleichungen (1') 

 genüge leistet und in Bezug auf p t ( = 1 . 2 . . . . n) sich auflösen 

 lässt. Wenn man umgekehrt die Differentialgleichung 



Ü = dz — p, dx, — ... — p„ dx„ = 



durch die kleinste Anzahl n -\- 1 der Integrale integriert, die die 

 gegebenen Gleichungen 1 1') erfüllen und in Bezug auf p t (i = l. 2..ri) 

 unabhängig sind, so bekommt man daraus durch Elimination die- 

 ser Variablen eine Gleichung 



z = J(x,.. .x„). 



die offenbar ein gemeinsames Integral der gegebenen Differential- 

 gleichungen (1) bildet. Wenn das System der n -)- 1 Integrale der 

 Differentialgleichung Q = 0. die die gegebenen Gleichungen (1') 

 erfüllen, sich in Bezug auf p, (i ■■= 1 , 2 . . . n) nicht auflösen lässt, 

 so dass man nach Elimination dieser Variablen mehr als eine Re- 

 lation zwischen z. x, bekommt, so bildet ein solches System kein 

 gemeinsames Integral der Differentialgleichungen (1) im gewöhnli- 

 chen Sinne. Wenn man aber die Definition des gemeinsamen Inte- 

 grals der gegebenen Differentialgleichungen (1) verallgemeinert, so 

 nennt man mit S. Lie ein solches System der n-\-i Integrale der 

 Differentialgleichung Q = immer ein gemeinsames Integral der 

 gegebenen Differentialgleichungen (I). Die Integration der Diffe- 

 rentialgleichungen (I) im allgemeinsten Sinne besteht also in der 

 Bestimmung des Systems (A) der n -j- 1 Integrale der Differential- 

 gleichung Q = 0. die die gegebenen Gleichungen il'j erfüllen. Da 

 wir dieses Problem in der allgemeinsten Form betrachten werden, 

 so setzen wir voraus, dass die gegebenen Differentialgleichungen 



(1) überhaupt in Bezug auf irgend welche k Grössen x i; z. - un- 

 abhängig sind. 



2. Wir wollen vor allem die notwendigen Bedingungen für die 



enti 

 L* 



Existenz des gemeinsamen Integrals der gegebenen Differential- 



