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von der Beschaffenheit, dass die Gleichungen 



[Fj, JTJ-O (sj-l, 2...m), 



3z 

 W() m. = — ist, die Folge der ersten sind. 



Die w erhaltenen Gleichungen 



Fi (x, . . . x„zp, . . . p„) = (i = 1.2... m) , (F) 



stellen in der grössten Anzahl ;// die Integrale aus dem Systeme 

 (A) der n -\- 1 Integrale der Differentialgleichung ü = dar. die 

 ohne die Integration erhalten werden können, da, wie wir uns spä- 

 ter überzeugen werden, die übrigen n -\- 1 — m Integrale aus die- 

 sem Systeme (A) nur durch die Integration erhalten werden kön- 

 nen. Wir sehen daraus, dass die notwendige Bedingung dafür, dass 

 die gegebenen k Differentialgleichungen ein gemeinsames Integral 

 haben, darin besteht, dass die Anzahl m der so erhaltenen Diffe- 

 rentialgleichungen (Ij die Zahl n -)- 1 nicht überschreite. Wir wer- 

 den sehen, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. 



3. Wollen wir jetzt übergehen zur Bestimmung der übrigen 

 ii -\- 1 — m Integrale aus dem Systeme (A) im Falle m < n -f- 1, 

 und zum Beweise, dass die Gleichungen [Fi im Falle m = n-\- 1 

 schon das gemeinsame Integral der Differentialgleichungen (1) bilden. 



Wir sehen, dass die Integration der gegebenen Differentialglei- 

 chungen (1) auf die Integration der m(k^.m^. n -\- 1) Differen- 

 tialgleichungen (I) von der Beschaffenheit, dass die Gleichungen 



[F„ F,] = (;, i = l. 2...nn. 



wo p a = r— ist. die Folge der Gleichungen (I) sind, hinauskommt. 



Das System der Differentialgleichungen (I) von dieser Beschaf- 

 fenheit heisst ein vollständiges. Jedes System der Differentialglei- 

 chungen (1) kann nur dann ein gemeinsames Integral haben, wenn 

 es ein vollständiges ist oder wenn es sich auf ein solches in der 

 oben gezeigten Weise reducieren lässt 



Wir werden zuerst einige Eigenschaften des vollständigen Sy- 

 stems (I) angeben. Wir werden dabei immer voraussetzen, dass die 

 in Betracht kommenden Lösungen des Systems (I) einfach sind. 



a) Das vollständige System (I') geht nach der Auflösung in 

 Bezug auf irgend welche m der Grössen x, . ;. /', wiederum in ein voll- 



