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c) Die Gleichungen des vollständigen Systems (F) (m ^ w) kön- 

 nen durch ein aequivalentes System der Gleichungen 



<A {x,... x„ z p, . . . p„) = (i = l, 2...m) 



von der Beschaffenheit, dass 



[Q„ t \ e (i, A- = i. 2...m) 



identisch ist. ersetzt werden. Man nennt mit S. Lie dieses letzte 

 System ein System in Involution Wir werden zu diesem Zwecke 

 eine gewisse Transformation benutzen. Es seien k partielle Diffe- 

 rentialerleichuneen 



(«) ft(x, x.z % ?) = (i-i, 2...Ä-) 



v Sx, c x„ ' 



gegeben. Die Integration dieses Systems reduciert sich auf die In- 

 tegration der Differentialgleichung Q = durch n -|~ 1 Integrale, 

 die die gegebenen Gleichungen erfüllen. Wir wollen nun die Glei- 

 chung Q = und die gegebenen Gleichungen auf die neuen Va- 

 riablen mit Hilfe der Formel 



z = H-\-x,p t -j-...-\-x q p q , .i\ = p/. p, = —x/ (> = 1.2...q) 



transformieren. Wir werden die Gleichungen 



Q = dH— p! dx/ — — p q ' dx q ' — p, l+1 dx, l+1 — — p„ dx„ = 0. 



(«0 /'((-/.^^..^F,g..g^-..g)-0(i-i,*..t) 



erhalten. Wir sehen daraus, dass die Integration der gesehenen 

 Differentialgleichungen (a) sich auf die Integration der Differential- 

 gleichungen («') reduciert. Es erhellt weiter aus den Formeln der 

 Transformation, dssa 



gZ- +P« 5- = r„ / • r„ - - - i sb + P« Tu > ( " = * > 2 ■ ■ $ 



V* 3// sy; 3// 



~^~ = to~ ' ^~~ = 3Ï> - i, 2 ...» - 8 

 ist. woraus folgt, dass 



y,, n -y:'- m 



ist, d. h.. dass das neue System vollständig oder in Involution ist, 

 wenn das ursprüngliche ein solches ist. 



Wir wollen uns jetzt zu den Gleichungen (!') wenden. 



