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genügen, und die Gleichungen (I") das System der n -\- 1 Integrale 

 dieser letzten Gleichung darstellen. Wenn man diese letzten auf 

 die ursprünglichen Variablen transformiert, so erhält man. dass 

 die Gleichungen (I') n -j- 1 Integrale der Differentialgleichung 



Q = dz — /<! d.r 1 — . . . — p„ d.v„ = 



darstellen. Wir werden daher im folgenden immer voraussetzen, 

 dass m ^ n ist. 



Da wir m gegebene Gleichungen (I'i als m Integrale des Sy- 

 stems (A) betrachten können, so können wir die Aufgabe in folgen- 

 der anderer Form ausdrücken: wir sollen die Differentialgleichung 



Q' = dz — p, dx, — . . /' dx = . 



wo die Veränderlichen ./• ; p, durch m gegebenen Relationen (F) 

 schon verbunden sind, durch die kleinste Anzahl n -\- 1 — m der 

 Integrale integrieren. Wir können nach dem oben bewiesenen im- 

 mer voraussetzen, dass die gegebenen Gleichungen (F) in Bezug 

 auf m der Grössen p, z. B. in Bezug auf p, . . . . p m auflösbar sind. 

 Wenn diese letzten in der aufgelösten Form die Gestalt 



Vi — ®i (■''• • ■ J '.. Z Pm+i • ■ • Pn) = \i = 1 . 2 . . . >)l< 



haben, so hat die Differentialgleichung Q' — die Gestalt 



Q' = dz — ®, dx, — . . . — S m dx m — p m+ , dx, ll+1 — ... p„ dx„ = . 



wo 



Pi = ®t 



ist. Wir können den Differentialausdruck Q' auf die neuen Verän- 

 derlichen so transformieren, dass m der neuen Variablen höchstens 

 im gemeinschaftlischen Faktor (t der Koeffizienten eintreten werden. 

 Es seien die Formel dieser Transformation 



■'•. = fi (!/! ■ ■ ■ l/2„+,-J (i = 1. 2 ...h), z = cp{y t ... y 2 „ +! _ J , 

 p m+1 = i/'™ +J (!/. ■ ■ ■ !/?,,+,-„ I j = l,2...n— m. 



Setzen wir voraus, dass nämlich die Veränderlichen y t . . y m nach 

 dieser Transformation nur im gemeinschaftlichen Faktor /t enthal- 

 ten sind (j = 1 , 2 . . .n — m). 



