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Diese m Systeme (i = 1. i* . . . m) der gewöhnlichen Differential- 

 gleichungen können durch ein einziges System dargestellt werden, 

 indem wir alle Gleichungen durch <///, (i = /. 2...m) multiplicie- 

 ren und addieren. 



So bekommen wir das System der gewöhnliehen Differential- 

 gleichungen 



d 





' dx : 



dx„ 



dp, 



+-• 



•+i 



V- < ? 



— /, p ~ 



-7'.»- 



i-Jf,Ä..« 



2< 



3x„ 



- P. 







) «fap 



A 



il I ij u 



V 3«P 



c'2 



-/./■; ! 



denen die Formel der gesuchten Transformation bei den konstan- 

 ten y„ +1 . . . . // 2 „ + ,_,„ genügen sollen, oder besser: denen die Relatio- 

 nen zwischen j\. z. />,„_,. welche man nach Elimination der //...//,„ 

 erhält, geniigen sollen. Die Anzahl dieser Relationen ist 2n-\-2 — 2m 

 und ist derjenigen der Gleichungen (A) gleich. Also mus das Sy- 

 stem (Ai der gewöhnlichen Differentialgleichungen ein unbeschrankt 

 integrables sein. Wenn wir das beweisen, su wird damit bewiesen, 

 dass die Formel der Transformation, die den Gleichungen des Sy- 

 stems (A) genügen, diejenigen der gesuchten Transformation sind. 

 Wenn in der Tat das System (A) ein unbeschränkt integrables ist. 

 so bestimmt es die Veränderlichen z, x v . /<„, . it. als Funktionen 

 der x,...x m . Wenn wir jetzt diese letzten als die beliebigen Fun- 

 ktionen der y t . . . . i/ s „ +I _„ . die in Bezug auf tj,-.-.ij„ unabhängig 

 sind, betrachten, so zerfällt das System (A) infolge der Willkür- 

 lichkeit der '///, .... <///„, in m Systeme (A'|. woraus folgt, dass die 

 Formel der Transformation, die. den Gleichungen (Ai genügen, die- 

 jenigen der gesuchten Transformation sind. 



Wir sollen also beweisen, dass das System (A) ein unbeschränkt 

 integrables ist. Wir geben zu diesem Zwecke einige Hilfsformeln. 



') G. Morera (1. c.) hat dieses System, die erste und letzte Gleichungen ac 

 genommen, als das erste Pfaffsehe des Ausdruckes U gefunden. 



