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und m Gleichungen 



q> i (x 1 o...p n °) = (i = 1.2... m\ 



die nur keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix (B,) 

 sind, enthält. Wenn man aus diesen n -j- 1 -\- m Gleichungen (f) 

 und aus den 2n -\- 1 — m Hauptintegralen der Differentialgleichun- 

 gen der Matrix (B t ) die Grössen a;, ^^ eliminiert, so bekommt 

 man n -j- 1 Gleichungen, die das gemeinsame nichtsinguläre Inte- 

 gral der partiellen Differentialgleichungen (I) bilden. 



Wenn aus diesen n -j- 1 Gleichungen nur eine Relation zwi- 

 schen x t z folgt, so stellen diese das gemeinsame nichtsinguläre In- 

 tegral im gewöhnliehen Sinne dar; sie stellen im entgegengesetzten 

 Falle ein gemeinsames niehtsinguläres Integral im erweiterten Sinne 

 von S. Lie dar. 



Was solches System der n -\- 1 -\- m Integrale der Differential- 

 gleichung Q g = betrifft, das m gegebene Gleichungen (I') und m 

 Gleichungen, die nur keine Integrale der Differentialgleichungen 

 der Matrix (B[) sind, enthält, so bestimmen wir. offenbar ein sol- 

 ches ohne die Integration in folgender Weise: Wir bestimmen ein 

 System der n -j- 1 Integrale der Differentialgleichung £? = 0. das 

 k(0^.k^m) von der gegebenen Gleichungen /•', |.r,° . . . p n °) = 

 (i = l, 2 ... m) und m — q (q ^ k) Gleichungen q) t (a^ . . .p n °) = 0, 

 die keine Integrale der Differentialgleichungen der .Matrix (B x ) 

 sind, enthält. Wenn wir noch die m — k übrigen der Gleichungen 

 (I') und k (^ q) willkürliche Gleichungen, die q Gleichungen er- 

 halten, die keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix 

 (B x ) sind, hinzufügen, so bekommen wir das gewünschte System 

 der n -\- 1 Integrale der Differentialgleichung ß =■ 0. Jedes sol- 

 ches System der Integrale kann in dieser Weise erhalten werden. 

 Man kann beweisen, dass alle gemeinsamen nichtsingularen 

 Integrale der gegebenen partiellen Differentialgleichungen (I) in 

 Involution aus denjenigen Systemen der n-\-l-\-m Integrale der 

 Differentialgleichungen ü = erhalten werden können, die die- 

 selben in Gleichungen <p, (x° . . . p n a ) = (i = 1, 2 . . . m), die keine 

 Integrale der Differentialgleichungen der Matrix (B,) sind, enthalten. 

 Es sei das gemeinsame nichtsinguläre Integral 



d- a (x,. . . p„ = (a = 1, 2 , . . n -\- 1 — m), 

 F t (x t ... p„ zp,... p„) = (i = 1.2... m) 



