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Wenn die Glechungen 



(g) & a ( Xi ...p,) = 0, F i (x 1 ...p n ) = 



(a = 1. 2 . . . n -\- 1 — vi. i = l,...m) 



das gemeinsame Integral im gewöhnlichen Sinne des Systems (I) 

 darstellen, so folgt aus ihnen nur eine Relation zwischen x, z. Dieses 

 Integral ist nur dann möglieh, wenn aus den gegebenen Gleichun- 

 gen (I') höchsten eine Relation zwischen x, z folgt. Wenn es eine 

 solche gibt und z den gegebenen Gleichungen genüge leistet, so 

 ist diese ein einziges gemeinsames Integral im gewöhnlichen Sinne. 

 Wir werden im folgenden voraussetzen, dass die gegebenen Glei- 

 chungen (I') in Bezug auf m der p, unabhängig sind. Das ge- 

 meinsame nichtsinguläre Integral im gewöhnlichen Sinne kann aus 

 diesem System der n -\~ 1 -\- vi Integrale der Differentialgleichung 

 Q = erhalten werden, das nie mehr als vi -\- 1 Relation zwi- 

 schen ./', z enthält. In der Tat wenn die Gleichungen q , [x, . . . p„) = 

 (i= 1. 2 . . . in) keine Integrale der Differentialgleichungen der Ma- 

 trix (B x ) sind und wenn die Gleichungen (g) infolge dieser nicht 

 illusorisch werden, so können wir das Integral im gewöhnlichen 

 Sinne (g) aus dem Systeme der n-\-l-\-m Integrale der Differential- 

 gleichungen Q = erhalten, das die Gleichungen (p t (»/... p n °) = 

 (i=l,2...m) enthalt. Dieses System hat infolge der oben ge- 

 machten Bemerkung die Gestalt: 



#, ix," . . . />„") = 0, Fi ( .r/ . . . p/) = 0, cp, (x* . . . p n °) = 

 (a = 1, 2 . . . n -j- 1 — m. i = 1.2...m). 



womit unsere Behauptung bewiesen ist. Da die n -j- 1 ersten 

 Gleichungen die Integrale der Differentialgleichungen der Matrix 

 {Bj sind, so sehen wir. dass die in letzten Gleichungen, die keine 

 Integrale dieser Differentialgleichungen sind, ohne diese Eigenschaft 

 zu verlieren, frei von p" . . . p m ° gemacht werden können. 



Umgekehrt, man erhält mit Hilfe des Verfahrens des Satzes V 

 ein gemeinsames Integral im gewöhnlichem Sinne aus dem Sy- 

 steme (f) der n-\-l-\-m Integrale der Differentialgleichungen 

 Q = 0, das nie mehr als m-\-l Relationen zwischen x," ^„. deren 

 in keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix (B,t sind, 

 enthält. Vor allem sei noch bemerkt: wir können >i -\- 1 Integrale 

 des Systems (fl 



