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Um ein gemeinsames nichtsinguläres Integral im gewöhnlichen 

 Sinne der partiellen Differentialgleichungen (I). die in Bezug auf 

 m der Veränderlichen p 1 ....p„ unabhängig sind zu bekommen. 

 soll man ein solches System der n -j- 1 -\~ m Integrale der Diffe- 

 rentialgleichung Q = bestimmen, dass nie mehr als m -\- 1 Re- 

 lationen zwischen ./•," ~o- die von vornherein gewählt werden kön- 

 nen, und von denen m keine Integrale der Differentialgleichungen 

 der Matrix (B t ) sein sollen, enthält, und hiermit nach dem Spi- 

 tze V verfahren. 



Man kann m dieser Weise alle gemeinsamen nicht singu- 

 lären Integrale im gewöhnlichen Sinne bestimmen. Dieses Integral 

 hat die Eigenschaft, dass es infolge der m Relationen zwischen 

 ./■,:. die keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix B 

 sind, der in -\- 1"" Relation zwischen x : genügt. 



3. Wir nennen das gemeinsame niehtsinguläre Integral der 

 Differentialgleichungen (I) ein vollständiges, wenn es die Form 



9 [x l ...p ll C 1 ...C„+i- m ) = 0, /•' u-, ...,,, i=0 

 (a = l,2...n-\-l— ni. 1 = 1,2... m 



hat. wo die ,7 — - l — m ersten Gleichungen n -\- 1 — »i willkürli- 

 che Konstanten, von denen die gegebenen /\ u', ..../•, ,i = 

 (i= 1, 2 ... m) frei sind, enthalten und in Bezug auf dieselben un- 

 abhängig sind. 



Jedes vollständige [ntegral kann aus diesem Systeme dei 

 n-\- 1 -\-m Integrale der Differentialgleichung J2 = 0: 



'-'-. x 1 *..p H *c l ..c n ,-,„) = »». /■;..,■,».. /.,.", = h. ( Pi (x l »..p„0) = o 



(a = l, 2 ..n-\-l — in. i — 1. ;> . m I f i 



erhalten werden, dessen n-\-m — 1 ersten Gleichungen die n-\-l — m 

 willkürlichen Konstanten <\ C n t ,„. von denen die übri- 

 gen 2m Gleichungen frei sind, enthalten und in Bezug auf diesel- 

 ben unabhängig sind. Es ist klar, dass die Gleichungen </ -.■, = 0, 

 die keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix (B.,) 

 sind, keine willkürlichen Konstanten enthalten dürfen, da sie die 

 Relationen zwischen den Integrationskonstanten .r," ;,, />," bilden. 

 Setzen wir nun voraus, dass die Gleichungen g) und tp ( (x 1 ..p n )=0 

 (i= l. 2 . . . m i verträglich sind. Das S\ stein der ii -\- 1 -j- m Inte- 

 grale (f) der Differentialgleichung ß = 0, das das System (g) 

 gibt, hat die Form 



