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& a (V .. Pl °C, .. C n+1 _ m ) = 0, F (x,° ..p n «) ^ 0. (■/-, (V ..p n °) = 0, 

 (a = 1, 2 . . . n + 1 — m. i = l,2... m). 



womit unsere Behauptung bewiesen ist. Wenn wir umgekehrt ein 

 System der w -f- 1 -f- m Integrale der Differentialgleichung Q a = 

 mit den oben erwähnten Eigenschaften bestimmt haben, so erhal- 

 ten wir daraus nach dem Satze V das vollständige Integral der 

 partiellen Differentialgleichungen (I). Es sei dieses System der 

 n-\~l-\-m Integrale der Differentialgleichung Q =0: 



© a (V . . //,," C 3 ..<■„. 2 _™ ) = 0, F, (V . . Pn °) = 0, , ( , (.,•, « . . p.») = 

 {a = l,2..n-\-l - m. i = 1. 2 . . m |. ff) 



Wir wissen . dass wir mit Hilfe der Gleichungen qp f = 

 (i = l,2...m) die ersten n -r- 1 — m Gleichungen so umformen 

 können, dass sie n-\-l-- m Integrale der Differentialgleichungen 

 der Matrix (Bj) sein werden. Setzen wir nun voraus, dass das 

 scbon ausgeführt ist. Wenn wir also die Grössen x i z p i ° aus den 

 Gleichungen (fj und aus dem Systeme der 2n -\- 1 — m Hauptin- 

 tegrale der Differentialgleichungen der Matrix (Bji eliminieren, so 

 erhalten wir offenbar die Gleichungen 



© a (x, . . . p„ C, ... Cn-j-ï-m) = 0. /•; fo . . . j>„ = 



i « = 1. 2 . . . n -j- 1 — m, i = 1, 2 . . . m i, 



die das vollständige gemeinsame Integral der partiellen Differen- 

 tialgleichungen (I) bilden. 



Wir haben also den Satz VII. 



Um das gemeinsame vollständige Integral der partiellen Diffe- 

 rentialgleichungen (I) zu erhalten, ist es hinreichend solches Sy- 

 stem der n-\- 1 -\-m Integrale der Differentialgleichungen ß = 0: 



X {x 1 °..p n <>C i . . C n . i- m ) = 0. F (V ■ ■l->.°' = 0, ft (s x ° . . . V) = 



(a = 1. 2 . . . « -f- 1 — m. i = 1, 2 . . . m ). 



wo bei der Bezeichnung der vorigen Sätze nur n-\-l — m ersten 

 Gleichungen n -4- 1 — m willkürlichen Konstanten, in Bezug auf 

 welche sie unabhängig sind, enthalten, zu bestimmen und damit 

 nach dem Satze V zu verfahren. Alle vollständigen Integrale kön- 

 nen in dieser Weise erhalten werden. 



Wenn das vollständige Integral es im gewöhnlichen Sinne sein 

 soll, so soll das System der n -\- 1 -f- m Integrale der Differential- 

 gleichung Q = nicht nur den Bedingungen des Satzes VII, 



