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sondern auch denjenigen des Satzes VI genüge leisten. Wir er- 

 halten das vollständige Integral, wenn wir diesem Systeme der 

 11 -\- 1 -\- m Integrale die Form 



z =C, x i °=C i {i = l,2..n), F i {x i °..p n °) = (i = l,2..m), 



wo f k (z a%° . . . x n °) = (k = 1. 2 . . . m) ist, geben vorausgesetzt, 

 dass die Gleichungen /',. (z x,° .../•„") = keine Integrale der Dif- 

 ferentialgleichungen der Matrix (Bj) sind. 



4. Fassen wir nun noch den Fall ins Auge, wenn die gegebe- 

 nen Gleichungen d') in Involution in Bezug auf m der Grössen />, 

 z. B. in Bezug auf p 1 p m unabhängig sind. Die Differentialglei- 

 chungen der Matrix (Bj bestimmen in diesem Falle die Veränder- 

 lichen x m j />,. z und haben kein Integral der Forin x { = const. 

 (i = 1, 2 . . . .m). Wir können daher voraussetzen, dass die Glei- 

 chungen (f, (j - , . . p n °) = (i=1.2.. in) des Systems der // -j- 1 -\-m 

 Integrale der Differentialgleichung ü = die Gestalt 



X t ° = ll, 1/ = 1. 2 ... lin 



haben, wo ]i, willkürlich gewählte Zahlen sind, die nur das System 

 der Hauptintegrale der Differentialgleichungen der Matrix i B, ) nicht 

 illusorisch machen sollen. Alle vorigen Sätze lassen sich einfacher 

 aussprechen: 



Der Satz V hat die Form: Um das gemeinsame nichtsingu- 

 läre Integral der partiellen Differentialgleichungen (I) in Involu- 

 tion, die in Bezug auf =- ,...—— unabhängig sind, zu bestimmen. 



-l 



*-- •'•, 



soll man die Diflerentialgleichung 



dz„ — p m +1 °dx m Hl ° — . :. — /'„"cLr," = 

 durch n -j- 1 — m Integrale 



#* ipc m + 1 °...f„° *„/,„, l °..j».o) = (a-—l,2..n-\-l — m) (f) 



integrieren und die Grössen X m + 1 ° r, l °z p lll , ,».... p n " aus den 



Gleichungen (f) und den Gleichungen 



F i (h u ...h m x m ," ... /,„<>) = (1=1. 2... m). 



■'■„, j=x m+ j(x i ..x m h l ..h ni x m ^. 1 ..p n °) j=l. 2. .n—m 

 p i =p i (x 1 ...x m h 1 ...h m x m i"...p n ) i = l,2..u 

 z = z(Xi i;„h, . .. //„,.<■„, ," . .. /i,°). 



