700 



Wir setzen voraus, dass die Definition des Elements des n-\-l 

 dimensionalen Raumes, des Elementvereins und der Integralman- 

 nigfaltigkeit M q von q Dimensionen der gegebenen partiellen Dif- 

 ferentialgleichungen (I) in Involution bekannt sind. 



Man nennt eine charakteristische Mannigfaltigkeit von m Di- 

 mensionen des gegebenen Systems (I') in Involution eine solche 

 w-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Elemente den 2n -\- 1 — m 

 Integralen der Differentialgleichungen der Matrix (B,). zwischen 

 denen m gegebene Gleichungen 1 1' i 



/•' | .r, . . . .r„ z p 1 . . . p n ) = (i = 1. 2 . . .m) 

 sind, genügen. Das gegebene System (I') in Involution besitzt 

 oo 2m + 1— 3m charakteristische Mannigfaltigkeiten 1 ). 



Der Satz IV kann zweierlei geometrische Bedeutung haben: 



a) Wenn x? ^ p," konstant sind (FJx^ . .p„°) = i = 1.2..m). 

 sm ist dann 



dz — p 1 dx i — ... — p„dx„ = ' (</.j„ —p^dxy — .. — p n °dx n ) = ö 



/'o 

 d. h. jedes Element der charakteristischen Mannigfaltigkeit liegt 

 mit allen benachbarten derselben Mannigfaltigkeit vereinigt. 



b) Wenn (x* z p t "), (x* -f- dx». z -\-dz , p,° -f- dp, ) zwei be- 

 nachbarte Elemente zweier benachbarten charakteristischen Man- 

 nigfaltigkeiten sind, so erhalten wir. dass wenn zwei benachbarte 

 Elemente zweier charakteristischen Mannigfaltigkeiten vereinigt 

 liegen, alle benachbarten Elemente derselben Mannigfaltigkeiten 

 vereinigt liegen. 



Satz V. Um die Integralmannigfaltigkeit M„ der gegebenen 

 Gleichungen (I'i in Involution zu bestimmen, so soll man die In- 

 tegralmannigfaltigkeit M„— m bestimmen und durch jedes Element 

 derselben die charakteristische Mannigfaltigkeit führen, vorausge- 



Ort o 



setzt, dass diese Integralmannigfaltigkeit M n — m so gewählt ist. dass 

 keine der oben erwähnten charakteristischen Mannigfaltigkeiten mit 

 der Integralmannigfaltigkeit .1/,, m unendliche viele gemeinsame 

 Elemente hat 2 ). 



1 ' S. Lie detinirt (1 c.) die charakteristische Mannigfaltigkeit mit Hilfe des Systems 

 der linearen Differentialgleichungen [-»', jPj] = (î= 2, 2 . . wi). deren Inte- 

 gration zur Integration der Differentialgleichungen der Matrix (B^ sich redueiert. 



2 ) Solche geometrische Bedeutung hat der Umstand, dass m Gleichungen 

 (Pi = keine Integrale der Differentialgleichungen der Matrix (B,) sind. 



