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Satz VI. Wenn mann die Integralmannigfaltigkeit A/„— „, des 

 gegebenen Systems (I') in Involution, die als Punktmannigfaltigkeit 

 betrachtet n — m - dimensional ist, bestimmt hat und. wenn man 

 durch jedes Element derselben die charakteristische Mannigfaltig- 

 keit führt, so erhält man eine Integralmannigfaltigkeit M„ des ge- 

 gebenen Systems (F), die als Punktmannigfaltigkeit aufgefasst n- 

 dimensional ist. vorausgesetzt, dass die Integralmannigfaltigkeit 

 M„— m so gewählt ist, dass keine der erwähnten charakteristischen 

 Mannigfaltigkeiten mit der Mannigfaltigkeit M„— m unendlich viele 

 gemeinsame Punkte hat. 



Der Inbegriff der oc" Jl — >" Integralmannigfaltigkeiten M n — m 

 bcisst ein vollständiges Integral des Systems (I'i in Involution. 



Man kann ein solches erhalten, indem man durch jeden Punkt 

 der Punktmannigfaltigkeit von n -\- 1 — m Dimensionen l ) die cha- 

 rakteristischen Mannigfaltigkeiten führt, vorausgesetzt, dass diese 

 Punktmannigfaltigkeit mit keiner der charakteristischen Mannigfal- 

 tigkeiten unendlich viele gemeine Punkte hat. 



S 5- 

 Wir wollen jetzt zur Theorie der singulären Integrale über- 



gehen. 



Wir haben die Differentialgleichung 



Q'= t (dz — p^dx, - . . .—p n °dx n ») = 



l"f) 



wo F ( (V . . . p n °) = 0, cp, (.r x ° . . . p n ü ) = (i = l,2...m) ist, durch 

 die Null-Setzung des Ausdruckes 



dz,— p^dx^—...— pJdx n o 



integriert. Wir können diese Gleichung, im Falle, wenn nicht alle 



9F- 



- ■ — (i = 1. 2 . . . m) Null sind, durch die Null-Setzung 



c ? 



" = 



integrieren. Wir haben gesehen, dass wir in diesem Falle die Wahl 

 der Formel der Transformation so einrichten können, dass Igfi 



) S. Lie hat beim Beweise dieses Satzes nur für den Fall zweier Gleichun- 

 gen) irthümlicherweise statt der n — 1 dimensioualen Punktmannigfaltigkeit die 

 n dimensionale genommen. (M. Ann. Bd. 9, p. 271 . 



