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darstellen. Wenn wir C\ . . . C„ ;_,„. als die neuen Veränderlichen 

 betrachten, so bekommen wir 



ß' = \— dC x -\- . . . -| - -ïTTï '/' '„ l-m 



-1—m 



oder 



ü' = \H (d( \ -f r, dC t + ...+ u„ t - m dt •„. t. » • 

 • / / • / / 



wo K = ; : \ ist. Alle Veränderlichen C. .. C„ +i _,„. (_'.,. .i„ + J 



h \ ' 9t 



sind unabhängig. Wir wissen in der Tat. dass die Gleichung 



</',-- U 2 dC 2 -\- . . . -\- U„ i_ m dC nH .i_ m = 



durch die kleinste Anzahl n 1 m der Gleichungen sich inte- 

 grieren lässt. Setzen wir nun voraus, dass zwischen den Variablen 



o 



C, .... r„ r_„, die Relation ® = stattfindet. Wenn wir für einen 

 Augenblick annehmen, dass diese Veränderlichen unabhängig sind, 

 so kann man bei der Integration der Differentialgleichung 



üfCt -\~ U 3 dC 2 -f- . . . -|- U» i m dC„ ,_,„ = (> 



durch a -\- 1 — m Integrale eines derselben willkürlich annehmen. 

 Wenn wir diese letztes in der Form ® = wählen und statt 

 C t . Un+i—m ihre Werte einsetzen, so sehen wir. dass die Glei- 

 chung 



d( j — U, </> '..-—...-{- Un-l-m d( '„ ; ,„ 



durch // — m Gleichungen integriert werden kann, was offenbar 

 unmöglich ist. 



Da der Differentialausdruck Q' nach der Transformation auf 

 die Variablen C t , . . . C„ +i _ m , /'.,.... U„ + i— m die Form 



ß' = S (dCj U 2 dC, [-...+ U n ^i-„ t dC n ,_,) 



c ' i 



annimmt, so ist diese die Pfaffsehe Transformation. Wir bekommen 

 die gemeinsamen nichtsingulären Integrale des gegebenen Systems 

 (I) in Involution, indem wir die Gleichung 



dt i U 2 dCz -j- . . . I '„ / ,„ d( „ 2 _,„ = 



durch >t -\- 1 — m Integrale integrieren, dieselben auf die ursprüng- 

 lichen Variablen .<■,:/', transformieren und die Gleichungen 



F, {x 1 ... p n ) = \i = 1. 2 . . . im 



