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48. M W. SÏEKLOFF. O teoryi szeregôw trygonometrycznych. (Sur la 

 théorie des séries triffonométrigues). Memoire présenté par M St. 

 Zaremba m. c. 



1. Le but principal des recherches qui vonl suivre consiste 

 à donner une démonstration nouvelle d'un théorème qui a été établi 

 pour la première fois par il. Liapounoff en 1896. démontré ensuite 

 par M. Hurwitz dans son Mémoire récent: „Sur quelques applications 

 géométriques des séries de Fourier" 1 ). et qui ne présente qu'un 

 cas particulier du théorème beaucoup plus général énoncé dans ma 

 Note du 6 mars 1903 Comptes -rendus 



La méthode que nous allons développer peur présenter un in- 

 térêt non seulement parce qu'elle conduit à une démonstration nou- 

 velle du théorème important, tout à l'heure mentionné, mais parée 

 qu'elle permet en même temps d'établir d'une manière assez simple 

 et directe d'autres propositions intéressantes, concernant la théorie 

 des séries de Fourier. Je mentionnerai, par exemple, un théorème 

 nouveau, analogue aux théorèmes connus de M. Picard et W eier- 

 strass, et conduisant, comme ceux-ci. à des propositions importantes 

 sur la représentation approchée des fonctions et sur le développe- 

 ment des fonctions continues en séries des polynômes 



C'est pourquoi je me permets de publier mes recherches. 



2. Démontrons d'abord un lemme préliminaire. 



Soit f l.r une fonction de la variable réelle x, bornée et inté- 

 grable à l'intérieur d'un intervalle (a, b), a et b étant des nombres 

 donnés. 



Supposons, pour fixer les idées, que b > a. 



Soit cp (x, ii) une autre fonction de deux variables x et // pou- 

 vant d'ailleurs contenir d'autres paramètres «, ß 



Supposons que </ x, n) reste bornée et intégrable par rapport 

 à ./• dans l'intervalle [a, b), quelle que soit la valeur réelle de n, 

 et pour toutes les valeurs des variables réelles <>.. J. . . . comprises 



respectivement dans certaines domain-- I . li déterminés 



pour chacune de ces variables. 



Supposons que <f [x, n) tende vers une fonction <p (x). bornée 

 et intégrable par rapport à x dans l'intervalle {a, b). lorsque ;/ croît 

 indéfiniment. a. ß, . . . restant compris dans les domaine- . I . B), ... 



') Annales de l'Ecole Normale. T. XIX. 1902, 



