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Supposons encore qu'on peut, le nombre positif s étant donné 

 à l'avance, trouver un nombre r. ne dépendant ni de x, ni de 

 a. ß, . . . assez grand et tel qu'on ait pour toutes les valeurs de x 

 dans l'intervalle {a, b) et de a. ß } . . . , compris dans les domaines 

 (A), (B),..., 



(1) | <p {x, ri) — <jp (x) \ < £ pour n j> v. 



On dira dans ce casque la fonction <p (x, n) converge, pour 

 n = oc, uniformément vers sa limite q> (x). 



Décomposons maintenant l'intervalle (a, b) en intervalles par- 

 tiels Ax, dont le. nombre soit égal à ;t (s = 1, 2, . . . fi), désignons 

 par x, une valeur quelconque de x dans l'intervalle Ax, et formons 

 la somme 



n 

 (1) SÜ= Y f{x)<p{x„n)Ax,. 



Comme f (x) et (p (x, ri) sont intégrables dans l'intervalle (a. 1>), le 

 produit / (x) (p {x, ri) le sera aussi. 



Supposant que // croisse indéfiniment et en passant à la limite, on a 



(2) lim S„ = lim \ /(x.) (p f>.. n , A.r = / f (x) q> (x, ri) dx. 



|_l = X [1 = X ^* t_/ 



s=i a 



Formons ensuite la somme 



!» 



,s'=^V /'(,/•;) v {se.) âx, 



On aura, en passant, comme précédemment, à la limite 



b b 



(3) lim S = / / (.r) p (x) dx = / fix) lim f (x, n) dx. 



car 



qn (x) = lim (p {x, n |. 



n=x 



Cela posé, considérons la différence 



S,*- - S' X = V / ( Xi ) [ç, (z, „) _ ^ (x,)] Ax, . 



