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Choisissant convenablement le nombre v. on trouve, en vertu 

 de (1), 



(M (p.) 



s. - s 



< e > / (x,) Ax, :ES £ M {b — a ) pour n > v, 



M désignant le maximum de \/(x) j dans l'intervalle (a, b). 



Cette inégalité a lieu, quel que soit le nombre fi. 



Supposant que // croisse indéfiniment et en passant à la limite, 

 on obtient, en tenant compte de (2) et de (3), l'inégalité suivante 



b b 



j f(x) (p (x, h) dx — / f(x) lim <jp (x, n) dx 



<eM (b—a)=e', 



ayant lieu pour toutes les valeurs de //, plus grandes que *'. 

 On peut donc écrire 



b b 



lim / f (x) (p(x, n) dx= I f{x) lim <p (x, n) d.>\ 



u u 



ce qui démontre le lenime suivant: 



Lemme. Soit f(x) une fonction bornée et intégrable 

 dans l'intervalle quelconque (a. b); soit <p (x, n) une 

 autre fonction de x, de // et d'un certain nombre de 

 paramètres a, /?,... 



La fonction cf (x, n) satisfait aux conditions sui- 

 vantes: 



Elle reste bornée et intégrable par rapport à x 

 dans l'intervalle (a, b) pour toutes les valeurs de « et 

 pour les valeurs des paramètres a. /?,..., compris dans 

 certains domaines (A), (B), ..., bien déterminés pour 

 chacun de ces paramètres. 



Elle tend uniformément, lorsque n croît indéfini- 

 ment, vers une fonction </\, (x), bornée et intégrable 

 par rapport à x dans l'intervalle (a, b), les paramètres 

 a, /?, . . . et a n t compris dans les domaines (A), (B), l )... 



') La fonction cp [x) peut dépendre, en général, de a, ß, . 



