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Ces conditions étant remplies, on a toujours 



b b 



(4) lim / f (x) q> (x, ri) dx = f f(x)]imq>(x,ri)dx. 



On peut ajouter que ce lemme reste vrai dans le cas beaucoup 

 plus général, où la fonction /' (x) peut cesser d'être intégrable aux 

 environs de certains points isolés. Pour que le lemme soit vrai, il 

 suffit seulement que les intégrales 



jf(x)dx, I f{x) 



dx. 



définies au sens général de M. Jordan (Cours d'Analyse. T. II, p. 

 49 etc. Paris. 1894), existent. 



Mais ici je n'insiste pas sur ce point. 



3. Posons maintenant 



a = o, 1) = 2n. 



Soit r/ un nombre donné, positif, assez petit et nécessairement plus 

 petit que n 2 ). 



Prenons un autre nombre positif >/, plus petit que rj . Désignons 

 par x une valeur quelconque de la variable x. prise dans l'inter- 

 valle (rj, 2 n — rj). 



Considérons la fonction 



(5) <P&n): 



sm - 1 — (x—g) 



2sin^ 



dx, 



2 



»o — 1 



// étant un entier positif. | une variable variant entre les limites 

 et 2 n. 



On voit que q> (ç, ri) est une fonction de ;. de n et des para- 

 mètres x , ;/. bornée et intégrable par rapport à £ dans l'intervalle 

 (0, 2 ri, quel que soit le nombre positif n et les valeurs des para- 

 mètres x„. ?/, compris dans les ntervalles (rj, 2n—rj), (0, ij ). 



Quelle que soit la position du point x à l'intérieur de l'inter- 

 valle (rj, 2 n — rj), l'intervalle i.r„ ~ i r x -\- vj) ne sortira pas de l'in- 

 tervalle (0, 2 ri). 



2 ) Pour que l'on ait r^ - 2-. — r m . 



