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Cinq cas différents peuvent se présenter, lorsque la variable ; 

 varie de £ = à $ = 2ji: 



1" <£<*„— y. 



2° î = *>-% 



3° .r — '1 < ï < x -\- tj, 



4» | = x -f t}, 



5° x -\- y < Ç < 2 n. 



Posons maintenant 



*-t_ 

 2 _ *' 



s étant une nouvelle variable, et 



_ -F,, — -i? -f _ * + i, - ç 



- 2 , P-- 2 



On a toujours, quelle que soit la position de | dans l'intervalle 



(0, 2n), 



a < n , /i ! < ./ . 

 L'égalité (5) se réduit à 



9> (f, ") = j 



sin [2 n -\- l)z 



sm . 



Supposons d'abord que ; se trouve dans L'intervalle (x — tj. 

 x o -\~ V) [3-me cas]. On a a < 0. ß > 0. et 



.. , rsm{2n~\-l)z . feia{2n-\-l)z. 



T ' J sin ; ' t / sin : 



a o 



J sm s J sin z 



Chacune de ces dernières intégrales n'est qu'un cas particulier 

 de l'intégrale île Dirichlel 



/ sm(2n-\-l)z 

 I t (z)— - dz , <q<n. 



J sin ; J — 



correspondant à 



f(z) = 1 . 



