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En appliquant la méthode connue de Dirichlet. qui se simpli- 

 fie essentiellement dans le cas considéré, nous démon- 

 trerons sans peine que <jp (g. ri) tend uniformément vers la li- 

 mite îr, lorsque n croît indéfiniment l ). 



Supposons ensuite que g se trouve en dehors de l'intervalle 

 (x Q — 1], x -\-rj) [cas 1° et 5°] et considérons, pour fixer les idées, 

 le cas 1°. 



On aura 



a > . ß > , 



P 

 /•sin (An +1) a, f S m(2n + l)z, 



<p($,n)= ! - -dz — ! —. — ! dz, 



J an z J sin z 



a o 



d'où l'on conclut que q>(£,n) tend uniformément vers zéro pour 

 n = oc, si 



< g < x — ■>] . 



On démontrera de la même manière que (p (x. ri) tend aussi vers 

 zéro pour n = oo, lorsque g se trouve dans l'intervalle (x -(-??, 2tt) 

 [cas 5°], et cela indépendamment de la position de g dans cet in- 

 tervalle. 



Il est aisé de s'assurer enfin que dans les cas 2° et 4° on a 



lim q> (g. n) = ^ . 



n=x -*- 



On voit donc que la fonction q> (g, ri), définie par la relation (5), 

 tend uniformément vers la fonction bien déterminée <jP !g'. 

 lorsque n croît indéfiniment. 



Quant à la fonction limite cp (g), on peut la définir par les 

 conditions suivantes: 



(fo (I) = pour < g < x — r], 



<Po (I) = 2 P our i = x o — >1 ■ 



(8) (p (g) = n pour x — t] < | < x -\- >;. 



Ml)=7j P our l = *o + *7, 



?>o CI) = Ö pour .r -j- 7/ < g < 2 



./. 



*) Compar., par exemple, E. Picard: „Traité d'Analyse" Paris, 1901. T. I' 

 p. 238 etc. 



