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Ce résultat a lieu pour tout nombre donné tj < tj et pour cha- 

 que valeur donnée de x , prise dans l'intervalle (tj, 2n — tj). 



4. Soit maintenant F (x) une fonction quelconque, bornée et in- 

 tégrable dans l'intervalle (0, 2 ri). 



Envisageons l'identité connue, fondamentale dans la théorie des 



séries de Fourier. 



. 2n + 1 

 sm 



--j-^Vcos h {x— |) = - 



■(*-!) 



2 sin 



*-§ 



« désignant un entier quelconque (positif i. 



Multiplions cette identité par F(Ç)dç et intégrons-la. en éten- 

 dant l'intégration à l'intervalle (0, 2 ri). 



On obtient l'égalité bien connue 



(9) 



n <t n 



-71 \ I a, ci is /.' x — h, sin /,' x 



sm 



2n+l 



*'(! 



(*-£) 



• x—È 

 2 sm — -? 



rff, 



où l'on a posé 



a, = - /Wïcosfcfdf. b k = - lFfâamk£d£ (k = ().1.2....) 

 n J nj 



Reprenons les nombres tj et x a , définis dans le n° précédent. 



Multiplions (9) par dx et intégrons-la entre les limite.- ar — tj et 

 x -\-rj. On trouve 



•T "0 | V Sin kr t I I 1 ^ 



— +77:^ - — '- («i cos /•■.<■„ — 6, sin ia- ) = 



k=l 



■ 



sin ^T 1 " (*— g) 



^(1) 



'.-'sin 



a - 



da 



10) 



imisque 



1 



1 



/ (/./• = ? rj, i cos /.-./' </./■ = - — '- cos &.r 



*o— 1 



x a — r, 



