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afo+1 



/. , , 2 sin h y . , 

 amk x dx = '- sin k x . 



xn—'h 



Remarquant maintenant que. d'après l'hypothèse faite au sujet 

 de i-'iç). on peut changer l'ordre des intégrations dans l'intégrale 

 double du second membre de l'égalité (10), on obtient 



(11)^ +nJ£?^{a l cozkx + b hS mkx )=^j" F® <p(i,n)dÇ, 



k = ï o 



OÙ 



sm — 2 — ^ X ~^ 



œ(^.)i)= — z dx 



. a;— ç 



u 



!Bo-7] 



est précisément la fonction (f (§. w), que nous avons considérée dans 

 le numéro précédent [l'égalité (5)]. 



L'égalité (11) a lieu, évidemment, quelle que soit la position du 

 point x = x dans l'intervalle (//, 2n — rf). 



5. Posons maintenant 



(12) S. = ■ - > -7 — - K cos & x -f- 6, sm & x ) 



k=l 



et considérons la série 



(13) S = J + J£ ™ - '' i a, cos h x + 6 S sin k x ). 



k=î 

 Cette série sera convergente et sa somme sera égale à la limite de 

 S„ pour n = oo, si cette limite existe 

 On a. d'après (11). 



s °=2hJ *•©*(&«)# 



Par conséquent, 



(14) S=lim S, = lim * ( F g 9 g« ,/i. 



„=» 2ni]J 



Or. les fonctions jF(£) et <p (§, «) satisfont à toutes les conditions du 

 lemme du numéro 2. comme nous l'avons déjà montré dans le numéro 3. 



