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Mais, quels que soient les nombres tj et .r . choisis de la ma- 

 nière indiquée plus haut (numéro 3), l'intégrale 



(20) J- fFfâdi 



*«- n 



a un sens bien déterminé, car F (g) reste bornée et intégrable dans 

 l'intervalle (0, 2 ri). 



Il s'ensuit que la série (13) converge en tous les points 

 de l'intervalle (rj, 2 n — rj) et que sa somme est égale 

 à la valeur de l'intégrale (20). 



6. Démontrons maintenant que la série (13) converge uni- 

 formément dans l'intervalle (i].2ji — if). 



Pour cela considérons la différence 



8. — S= j— JF(Ç) [<p (f. n) — cp (g)] df . 



En vertu des propriétés de la fonction r/Mç, ri), indiquées dans le 

 numéro 3. on peut affirmer qu'il existe un nombre v tel qu'on aura 

 pour n 5> v et pour toutes les valeurs de | dans l'intervalle {0,2 ri) 



| (p (l ri) — <p (|).| < £. 



£ étant un nombre positif donné à l'avance. 

 On aura donc 



& — S 



<2 



277 



71 1/ J 



dç<l£ — , 



n 



M désignant le maximum de | F(çi dans l'intervalle (0, 2 ri). 



Pour chaque valeur de i] < i] , fixée d'une manière quelconque, 

 on peut, par conséquent, donner à l'avance un nombre positif e' et 

 puis, choisir le nombre v de façon que l'on ait 



(21) ! S,— S < e' pour n ^ v, 



et cela pour toute position du point x dans l'intervalle (tj,2n — rj). 



Cette inégalité démontre la proposition énoncée au début de ce n°. 



7. On peut maintenant déduire de l'égalité (19) quelques con- 

 séquences intéressantes que nous allons indiquer avant de passer 

 à la démonstration du théorème de MM. Liapounoff et Hurwitz. 



Faisons une hypothèse particulière au sujet de la fonction F (g): 



