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8. Supposons maintenant que la fonction F (x) soit continue en 

 tous les points de l'intervalle (0. 2 ri), c'est-à-dire qu'il existe un 

 nombre positif ô tel qu'on ait pour toutes les valeurs de x dans l'in- 

 tervalle (0, 2 ri) et pour toutes les valeurs de h dont le module reste 

 inférieur à ô 



F (x -\- h) — F (x) | <e. 



s étant un nombre positif, donné à l'avance. 



Appliquons le théorème précédent à ce cas particulier. 



Dans l'hypothèse, faite par rapport à F (a;), on peut choisir le 

 nombre i\ indépendamment de la position du point x dans un inter- 

 valle quelconque (a, ß), intérieur à l'intervalle (0,2 ri); il en sera 

 de même, par conséquent, du nombre v. 



D'autre part, dans le cas considéré, on a 



F(x + ) + F( X -0) = F{ ^ 



L'inégalité (27) se réduit à 



\S,—F(x)\<2e, (29) 



où le nombre positif t], assez petit, et le nombre v, assez grand, 

 restent les mêmes pour tous les points de l'intervalle (a, ß). 



On peut donc énoncer le théorème suivant: 



Théorème. Si F(x) est une fonction continue en tous 

 les points de l'intervalle (0,2 ri), on peut, le nombre 

 positif e étant donné à l'avance, trouver un autre 

 nombre positif i/, suffisamment petit, et un entier v. 

 suffisamment grand, et construire ensuite une série 

 trigono m étriqué finie 



V 

 O °0 , V S ' n/ ''', : , i I ; • ; 



o v = -jr -\- > —, 1 (a k cos k x -\- ù„ sin k x) 



k = l 



telle que la fonction Fix) puisse être représentée par 

 S y avec l'approximation donnée à l'avance 2s en tous 

 les points de tout intervalle (a, ß). intérieur à F i n t e r- 

 valle (0, 2 ri). 



C'est un théorème, analogue aux théorèmes de M. Picard et de 

 Weierstrass. 



s t n A* t ^ 



Si nous remplaçons dans >S' V le facteur — par ;* (0< r<l), 



