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nous obtiendrons le théorème de M. Picard; si nous le remplaçons 

 par e _KI (0 <Lt < 1), nous retrouvons le théorème de Weierstrass *). 



9. Du théorème que nous venons d'établir, il résulte presque im- 

 médiatement le théorème sur la représentation approchée des fonc- 

 tions continues à l'aide des polynômes. 



En développant cos kx et sin kx en séries des puissances de x 

 et s'arrêtant aux termes convenablement choisis, on trouve 



| 5 V — P m (a) < s, 



P m (x) étant un polynôme en x de degré m, m désignant un entier, 

 convenablement choisi. 



Cette inégalité et (29) donnent 



F(x) — P m (x) <3s. 



ce qui démontre ce théorème, bien connu: 



Théorème. Toute fonction F (x), continue dans l'in- 

 tervalle (0,2 71) peut être représentée à l'aide d'un po- 

 1 y n ô m e P,„ (x). convenablement choisi, avec l'approxi- 

 mation donnée à l'avance 3e en tous les points in- 

 térieurs à l'intervalle (0,2h). 



Nous n'avons considéré que l'intervalle (0, 2 n\ mais il est 

 évident que le théorème reste vrai pour tout intervalle (a, b), a et b 

 étant des nombres quelconques. 



De ce théorème se déduit immédiatement le théorème de M. 

 Picard sur le développement d'une fonction continue en une série de 

 polynômes. Il est inutile de reproduire la démonstration bien connue 

 (Voir E. Picard: ..Traité d'Analyse". T. I. p. 278. Paris. 1901). 



10. Envisageons de nouveau l'égalité (19), en y remplaçant x a 

 par '. 



(i9) *= f !°- v sl "^ lfliC , )S /,, + ^ sin ^,. ) = ^- fi\,,i z . 



h = t *— 7] 



Soit x une valeur quelconque de x dans l'intervalle (t], 2ji — tj). 

 Multiplions l'égalité (19) par dx et intégrons-la entre les limites 



•*•<> — '/ e* •<'o + *?- 



On trouve [comparez le n° 4] 



') Comparez encore: Leopold ïejer, Comptes reudus. 1900. 



