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(30) S'= a j ^^^^(a^oskx^b^inkx.^—fdx (fF{gfê) , 



car la série (19) converge uniformément [voir n" 6]. 

 Supposons que la série de Fourier 



ce 



(x) = -£ -|- ^ « t cos /t x -|- 6^ sin ^ a;) 



converge pour a; = a; . 



En employant la méthode de Riemann (Gesammelte Werke, 

 Leipzig, 1876, p. 232). nous démontrons que dans le cas considéré 



lim 8' = ~ -\- \ (a k eoskx -\-b k sinkx ). 



D'autre part, l'égalité (30) ayant lieu pour toutes les valeurs 

 positives de rj, plus petites qu'un nombre donné ?; < n, donne 



»o f r, x + 7) 



lim ff = lim JL fdx(J'Ffâ d£). 



On a donc 



oc *0+l '1 1 



* (*o) = § + 2" ( a ' cos Z ' x o +ö 4 sin kx = lim J /W />(§) 4O. 



ce qui nous permet d'énoncer ce théorème général: 



Théorème. Pour que la série de Fourier. correspon- 

 dant à une fonction F (x) bornée et intégrable dans 

 l'intervalle (0,2n), converge en un point quelconque 

 x , intérieur à l'intervalle (0, 2 n). il est nécessaire que 

 l' expression 



K = j^fdx ( y>(|) if) (31) 



ait une limite bien déterminée pour ij = 0. 



D'autre part, si cette limite existe et si la série de 

 Fourier converge pour x = x a , elle a 



pour somme. 



