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F(x Q -\-0) + F(x -0) 

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C'est le théorème de Riemann [compar. A. Harnack, Bulletin des 

 Sciences Mathém., 1882, p. 293]. 



12. Passons maintenant à la démonstration du théorème de M. 

 Liapounoff. 



Reprenons l'égalité (19) [en y remplaçant x par x] 



OD . X+ 7] 



s=^+2^( a *™ skx + hainkx)= ïkf F ® dê - (19) 



k = l X— 7) 



Soit rf un autre nombre positif satisfaisant aux conditions 



tj <C rfm n . 



et considérons l'intervalle (rf, 2 n — rf). 



L'égalité (19) a lieu pour tous les points de cet intervalle. 



Multiplions cette égalité par F (x) dx et intégrons-la en étendant 

 l'intégration à l'intervalle (rf, 2n—rf). 



On trouve, en se rappelant que la série S converge uniformé- 

 ment (n° 6). 



7]' 1-7) 



où l'on a posé 



2T.—T/ »71— T)' 



a/ = / F (x) cos kxdx, b/ = - f F (x) sin /. ;x <Ij '. 



r, ' V 



(h = 0, 1, 2, . . . .) 



Soit maintenant f (x) une fonction donnée, bornée et intégrable 

 dans l'intervalle (0, 2 ri). 



Définissons la fonction F(x). qui figure dans la formule (36), 

 de la manière suivante: 



F(x) = 0, si —/;<«<;/, 



F(x)=f(xj, si rf<Lx<,2jT— rf. (37 j 



F(«) = : si 2^— ■// <Z a: < 2tt + /;. 

 On a alors 



