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2T. 



a k ' = \ = — I F (x) cos kxdx, 



2T. 



b k ' = a,, = - / F ( x) sin /.• x dx 



et l'égalité (36) devient 



(38) *f+ n v ^ (-.4 ».•> = 4/>m cy5(D «) & 



Or. quelle que soit la fonction F (x). bornée et intégrable dans 

 l'intervalle (0, 2n\ la série de la forme 



2 



< 39 ) T + JJV+V) 



k = l 



est toujours convergente, comme l'a déjà remarqué M. A. Harnack 

 (loc. cit., p. 274). 



En posant, en effet, 



F i x) = -| -] V^ ( f ( t cos /.- ,r -4- 6, sin A- a?) -(- ?„ , 



1=1 



on trouve aisément 



/V <*» = y>* (») «te - ^|l - «2W + ** 2 ) • 



Cette égalité, ayant lieu quelle que soit le nombre entier n, dé- 

 montre la proposition énoncée. 



Ecrivons maintenant l'égalité (38) sous la forme 



(40) aJ f & (Ï f ® d t) dx = ï +2 s} w <**+*?+*» 



où l'on a posé 



00 



sin k )] 



Désignons par R n ' le reste de la série (39). 



Il est évident qu'on a toujours, indépendamment du nombre rj, 



(41) ff. j ^ 5/ ^ 0, 



