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car 



sin k i] 



<1 



kr\ 



Or, la série (39) étant convergente, on peut trouver un nombre v 

 tel qu'on ait 



-#„' < f pour n^.v, 



£ étant un nombre positif, donné à l'avance. 

 On aura donc, en vertu de (41 i. 



ii'„ < e pour n j> v . (42) 



L'égalité (40) a lieu, quel que soit le nombre //. plus petit que >] . 

 Supposant que r\ tend vers zéro et en passant à la limite, on 

 trouve 



2 7: *+1 



lim ^- fF{x) ( /jP(D rfg ) ds = % +^J (a. 2 + V) + Hm Ä„. 



Or, l'intégralité (42), ayant lieu indépendamment de rj, montre que 

 lim B„ < £ pour // ;> v. 



On obtient donc l'inégalité suivante 



lim Àv I F{X) (f F{è) dî ) dx -^2 +2 (ö * 2 + V) )| < £ ' 

 qu'on peut remplacer par l'égalité 



00 2" n 



% +2 « + W = lim 2^" / F ^) (/-^ *)*»■ (43) 



13. Considérons maintenant le second membre de l'égalité ob- 

 tenue. Posons 



£ = * + ?, 

 £ étant une nouvelle variable. 

 On aura 



2r. i r, 2n +1 



JF(x) (fm) dï) dx =Jf(x) (Jf{x -f d£) dte, 



*-1 o -1 



d'où, en changeant l'ordre des intégrations, on tire 



