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Cette égalité a lieu pour toute fonction F(x) satisfaisant aux con- 

 ditions (37) qui se réduisent maintenant, pour rj = 0, aux suivantes 



F(x) = pour < as <;»/', 



F(x)=f(x) pour rf <Lx<^2n — rf 

 F(x) = pour 2 n — rf <^x<^2n, 



où f{x) est une fonction quelconque, bornée et intégrable dans 

 l'intervalle (0, 2 ri). 



Quant à rf c'est un nombre positif arbitraire satisfaisant à une 

 seule condition: rf <^n. 



Il s'ensuit immédiatement que l'égalité (52) a toujours lieu, pour 

 toute fonction f (x) bornée et intégrable dans l'intervalle (0,2 ri). 



On peut donc écrire 



2- co 



l JP (x) dx = a -l +J^ (a,« + V) , 



en entendant par a k et b k les expressions suivantes 



2 7: 2 ~ 



a k = I f{x)coskxdx, & t = f f(x) sin kxdx. 







Le théorème suivant est donc démontré: 



Théorème. Quelle que soit la fonction f(x\ bornée 

 et intégrable dans l'intervalle (0,2tv). on a toujours 



X 







comme si 1* égalité 



-ff 



71 J 



«o 



V 



f{x) = ~^-\- ^ (a* cos kx-\-b k sm kx), 



k=l 



qui peut n'avoir aucun sens sous les suppositions gé- 

 nérales faites par rapport à f (a;), représentait le dé- 

 veloppement de la fonction y (a;) suivant la série de 

 Fourier. laquelle serait ici uniformément conver- 

 gente. 



15. Posons 



